Вопрос: Действия с матрицами. Определители второго и третьего порядка

Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел , где , ,

,

состоящая из строк и столбцов.

Определение. Суммой матриц и размера называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В: , , .

Определение. Произведением αА матрицы на число α называется матрица , элементы которой .

Пример 7. Вычислить 3А+2В, если

, .

Решение. Вычислим , . Тогда .

Определение. Произведением АВ матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , элемент которой , стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы А и j-ого столбца матрицы В:

,

.

Так как строки и столбцы матриц участвуют в произведении АВ неравноправно, то АВ≠ВА.

Пример 8. Вычислить .

Решение. Умножим элементы первой строки первой матрицы на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы и сложим все произведения. Полученный элемент поставим в первую строку и первый столбец матрицы-произведения. Далее вычислим остальные элементы произведения матриц.

.

Матрицу называют единичной. Легко проверить, что , если, конечно, число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы Е, и ЕА=А.

Если матрица А имеет одинаковое число строк и столбцов, то ее называют квадратной.

Определение. Определителем квадратной матрицы А называется определитель, составленный из ее элементов.

Обозначают определитель матрицы А либо det A (от слова детерминант, т.е. определитель), либо | A |, либо D.

Определение. Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае матрицу называют вырожденной.

Определение. Матрица такая, что , называется обратной матрице А.

Если А – невырожденная матрица, то существует и при этом единственная матрица, обратная к матрице А. При этом , где - алгебраические дополнения к элементам исходной матрицы.

Замечание. Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам строк матрицы А располагают в столбцах с теми же номерами, что и строки данной матрицы А.

Пример 9. Найти матрицу, обратную к матрице .

Решение. Вычислим

Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А:

, ,

,

, ,

,

, ,

.

Имеем .

22.2 Определители 2 и 3 порядка.

Определителем называется число, записанное в виде квадратной таблицы:

.

Таблица ограничивается слева и справа вертикальными линиями, -называется элементами определителя ( -номер строки, -номер столбца).

Главная диагональ определителя содержит элементы , противоположная диагональ называется побочной.

Порядком определителя называется число строк (столбцов) квадратной таблицы.

Определитель II порядка вычисляется по формуле:

Определитель III порядка можно вычислить по правилу Сарруса:

Основные свойства определителей:

1.1. Значение определителя не изменится, если:

- строки заменить на столбцы, такое действие называется транспонирование, т.е. действия, выполняемые со строками, справедливы и для столбцов;

- все элементы одной строки умножить на какое-либо число и прибавить к соответствующим элементам другой строки.

Такие действия с элементами определителя называются элементарными преобразованиями.

1.2. Определитель меняет знак на противоположный, если две каких-либо строки поменять местами.

1.3. Определитель равен нулю, если:

- все элементы какой-либо строки равны нулю;

- соответствующие элементы каких-либо двух строк равны;

- соответствующие элементы каких-либо двух строк пропорциональны.

2. Алгебраическое дополнение и минор.
Элементарные преобразования.
Вычисление определителей n-го порядка (n >4)

Пример

Вычислить определитель IV порядка:

Поиск по сайту: