АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Вопрос: Действия с матрицами. Определители второго и третьего порядка

Читайте также:
  1. I. ПРОБЛЕМЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИРОДЫ И ОБЩЕСТВА
  2. II. Пути противодействия психологическому воздействию противника.
  3. IV. Определите, какую задачу взаимодействия с практическим психологом поставил перед собой клиент.
  4. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  5. VI Обжалование решений, действий (бездействия) таможенных органов и их должностных лиц
  6. VI. Срок действия служебного контракта
  7. VII. По степени завершенности процесса воздействия на объекты защиты
  8. АВТОМАТИЧЕСКИЕ ВЕСОВЫЕ ДОЗАТОРЫ НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ
  9. АВТОМАТИЧЕСКИЕ ВЕСОВЫЕ ДОЗАТОРЫ ПОРЦИОННОГО ДИСКРЕТНОГО ДЕЙСТВИЯ
  10. Аккультурация в межкультурных взаимодействиях
  11. Активность и степень воздействия на другие государственные орга-
  12. Активные действия

Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел , где , ,

,

состоящая из строк и столбцов.

Определение. Суммой матриц и размера называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В: , , .

Определение. Произведением αА матрицы на число α называется матрица , элементы которой .

Пример 7. Вычислить 3А+2В, если

, .

Решение. Вычислим , . Тогда .

Определение. Произведением АВ матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , элемент которой , стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы А и j-ого столбца матрицы В:

,

.

Так как строки и столбцы матриц участвуют в произведении АВ неравноправно, то АВ≠ВА.

Пример 8. Вычислить .

Решение. Умножим элементы первой строки первой матрицы на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы и сложим все произведения. Полученный элемент поставим в первую строку и первый столбец матрицы-произведения. Далее вычислим остальные элементы произведения матриц.

.

Матрицу называют единичной. Легко проверить, что , если, конечно, число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы Е, и ЕА=А.

Если матрица А имеет одинаковое число строк и столбцов, то ее называют квадратной.

Определение. Определителем квадратной матрицы А называется определитель, составленный из ее элементов.

Обозначают определитель матрицы А либо det A (от слова детерминант, т.е. определитель), либо |A|, либо D.

Определение. Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае матрицу называют вырожденной.

Определение. Матрица такая, что , называется обратной матрице А.

Если А – невырожденная матрица, то существует и при этом единственная матрица, обратная к матрице А. При этом , где - алгебраические дополнения к элементам исходной матрицы.

Замечание. Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам строк матрицы А располагают в столбцах с теми же номерами, что и строки данной матрицы А.



Пример 9. Найти матрицу, обратную к матрице .

Решение. Вычислим

Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А:

, ,

,

, ,

,

, ,

.

Имеем .

 

 

22.2 Определители 2 и 3 порядка.

Определителем называется число, записанное в виде квадратной таблицы:

.

 

Таблица ограничивается слева и справа вертикальными линиями, -называется элементами определителя ( -номер строки, -номер столбца).

Главная диагональ определителя содержит элементы , противоположная диагональ называется побочной.

Порядком определителя называется число строк (столбцов) квадратной таблицы.

Определитель II порядка вычисляется по формуле:

Определитель III порядка можно вычислить по правилу Сарруса:

Основные свойства определителей:

1.1. Значение определителя не изменится, если:

- строки заменить на столбцы, такое действие называется транспонирование, т.е. действия, выполняемые со строками, справедливы и для столбцов;

- все элементы одной строки умножить на какое-либо число и прибавить к соответствующим элементам другой строки.

Такие действия с элементами определителя называются элементарными преобразованиями.

1.2. Определитель меняет знак на противоположный, если две каких-либо строки поменять местами.

1.3. Определитель равен нулю, если:

- все элементы какой-либо строки равны нулю;

- соответствующие элементы каких-либо двух строк равны;

- соответствующие элементы каких-либо двух строк пропорциональны.

2. Алгебраическое дополнение и минор.
Элементарные преобразования.
Вычисление определителей n-го порядка (n >4)

Минором к элементу называется определитель, полученный из исходного, вычеркиванием -й строки и -го столбца.

‡агрузка...

Таким образом, порядок минора меньше порядка исходного определителя на единицу.

Алгебраическое дополнение – минор с соответствующим знаком, т.е.

.

Вычисление определителей n-го порядка выполняется по формуле:

т.е. определитель представляется в виде разложения по элементам -й строки.

Пример

Вычислить определитель IV порядка:


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.)