Теоремы о переходе к пределу в неравенствах

Теорема о переходе к пределу в равенстве

Если на и существует , то существует и .

ПРИМЕР. Поскольку для и , то .

ТЕОРЕМА (о переходе к пределу в неравенстве)

Если или на и существуют – к.ч. и – к.ч., то .

Доказательство можно провести методом от противного.
Рекомендуем провести самостоятельно.

ТЕОРЕМА (о перенесении неравенства между пределами на функции)

Если существуют пределы и и выполняется неравенство , то существует окрестность ,
на которой .

Доказательство. Имеем

,

в частности, при : , т.е. . Аналогично

,

в частности, при , т.е. или .

Поскольку при , то на пересечении окрестностей имеем , т.е. указали окрестность , на которой характер неравенства между пределами переносится на функции.

Следствие. Если – конечное число и , то можно указать окрестность , на которой .

Поиск по сайту: