Вопрос: Производная сложной функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Теорема Ролля, Лагранжа, Коши

Теорема .

Если функция U (x) – дифференцируема в точке Хо, а функция y = f (U) – дифференцируема в соответствующей точке U = U (Xo), то сложная функция y (f (U (x))) дифференцируема в точке Хо и f ' (U (x)) в точке Х = Хо = f ' (Uo) ∙ U' (Xo). Таким образом, производная сложной функции равна произведению производных всех ее звеньев.

Для функции, зависящей от одной переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что есть произвольное и не зависящее от , которое при дифференцировании по следует рассматривать как постоянный множитель.

Теорема Ролля.

Пусть f (x) непрерывна на [ a; b], f (х) дифференцируема на ( а;b).

f (a) = f (b), следовательно существует по крайней мере одна точка ζ принадлежащая ( а;b) , в которой производная ( f ' (ζ )) = 0.

Геометрический смысл:

Если значения функции на концах отрезка равны и выполняется условие теоремы Ролля, то найдется точка, в которой касательная параллельна ОХ.

Теорема Лагранжа.

Если:

f (x) непрерывна на [ а;b] и f (x) дифференцируема на ( а; b ), то найдется по крайней мере одна точка ζ , принадлежащая (а;b), такая что f ' (ζ) =( f (b) – f (a) )/ (b – a)

Геометрический смысл:

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к кривой параллельна секущей.

Эта теорема более общая по отношению к теореме Ролля.

Теорема Коши. ( еще более общая ).

Если: f(x) непрерывна на [а;b]

g (x) непрерывна на [а;b]

f (x) дифференцируема на (а;b)

g(x) дифференцируема на (а;b)

g ' (x) ≠ 0, то существует по крайней мере одна точка ζ, такая что:

f(b) – f(a) / g(b) – g(a) = f ' (ζ) / g ' (ζ) — формула Коши.

Замечание.

Теорема Лагранжа является следствием теоремы Коши. Если g (x) = x, тогда g '(x) = 1, следовательно: f(b) – f(a) / b – a = f ' (ζ) / 1

11 Вопрос: Правило Лопиталя:

Теорема

Пусть f(x) и g(x) имеют производную f’(x) и g'(x) ( не равных нулю) в некоторой окресности точки х0 ,кроме быть может самой точки х0 и существ. limf(x) при x-> x0 и limg(x) при x->x0

Теорема Лопиталя:

1. либо ;
2. и дифференцируемы в проколотой окрестности ;
3. в проколотой окрестности ;
4. существует ,

тогда существует .

12 Вопрос: Условия возрастания и убывания функции: