|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Вопрос: Производная сложной функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Теорема Ролля, Лагранжа, КошиТеорема . Если функция U (x) – дифференцируема в точке Хо, а функция y = f (U) – дифференцируема в соответствующей точке U = U (Xo), то сложная функция y (f (U (x))) дифференцируема в точке Хо и f ' (U (x)) в точке Х = Хо = f ' (Uo) ∙ U' (Xo). Таким образом, производная сложной функции равна произведению производных всех ее звеньев.
Для функции, зависящей от одной переменной Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что Теорема Ролля. Пусть f (x) непрерывна на [ a; b], f (х) дифференцируема на ( а;b). f (a) = f (b), следовательно существует по крайней мере одна точка ζ принадлежащая ( а;b) , в которой производная ( f ' (ζ )) = 0. Геометрический смысл: Если значения функции на концах отрезка равны и выполняется условие теоремы Ролля, то найдется точка, в которой касательная параллельна ОХ. Теорема Лагранжа. Если: f (x) непрерывна на [ а;b] и f (x) дифференцируема на ( а; b ), то найдется по крайней мере одна точка ζ , принадлежащая (а;b), такая что f ' (ζ) =( f (b) – f (a) )/ (b – a) Геометрический смысл: Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к кривой параллельна секущей. Эта теорема более общая по отношению к теореме Ролля. Теорема Коши. ( еще более общая ). Если: f(x) непрерывна на [а;b] g (x) непрерывна на [а;b] f (x) дифференцируема на (а;b) g(x) дифференцируема на (а;b) g ' (x) ≠ 0, то существует по крайней мере одна точка ζ, такая что: f(b) – f(a) / g(b) – g(a) = f ' (ζ) / g ' (ζ) — формула Коши. Замечание. Теорема Лагранжа является следствием теоремы Коши. Если g (x) = x, тогда g '(x) = 1, следовательно: f(b) – f(a) / b – a = f ' (ζ) / 1 11 Вопрос: Правило Лопиталя: Теорема Пусть f(x) и g(x) имеют производную f’(x) и g'(x) ( не равных нулю) в некоторой окресности точки х0 ,кроме быть может самой точки х0 и существ. limf(x) при x-> x0 и limg(x) при x->x0 Теорема Лопиталя:
тогда существует 12 Вопрос: Условия возрастания и убывания функции: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.012 сек.) |