АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Вопрос: Производная сложной функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Теорема Ролля, Лагранжа, Коши

Читайте также:
  1. Ms Excel: мастер функций. Логические функции.
  2. S-M-N-теорема, приклади її використання
  3. V2: ДЕ 32 - Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная
  4. V2: ДЕ 35 - Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производные высший порядков
  5. Абстрактные классы и чистые виртуальные функции. Виртуальные деструкторы. Дружественные функции. Дружественные классы.
  6. Алгебраическое интерполирование функции.
  7. Архивы высших учреждений
  8. Асимптоты графика функции.
  9. Базидиальные грибы, особенности биологии как высших представителей грибов, систематика, значение в природе и для человека.
  10. Банки и их функции. Банковская система
  11. Билет 35(Деньги; сущность и функции. Понятие и типы денежных систем. Денежные агрегаты. Закон денежного обращения.)
  12. Биосфера: понятие и современные представления, функции. Вклад Ж-Б Ламарка, Э. Зюсса, В.И. Вернадского. Эволюция биосферы. Границы биосферы.

Теорема .

Если функция U (x) – дифференцируема в точке Хо, а функция y = f (U) – дифференцируема в соответствующей точке U = U (Xo), то сложная функция y (f (U (x))) дифференцируема в точке Хо и f ' (U (x)) в точке Х = Хо = f ' (Uo) ∙ U' (Xo). Таким образом, производная сложной функции равна произведению производных всех ее звеньев.

 

Для функции, зависящей от одной переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что есть произвольное и не зависящее от , которое при дифференцировании по следует рассматривать как постоянный множитель.

Теорема Ролля.

Пусть f (x) непрерывна на [ a; b], f (х) дифференцируема на ( а;b).

f (a) = f (b), следовательно существует по крайней мере одна точка ζ принадлежащая ( а;b) , в которой производная ( f ' (ζ )) = 0.

Геометрический смысл:

Если значения функции на концах отрезка равны и выполняется условие теоремы Ролля, то найдется точка, в которой касательная параллельна ОХ.

Теорема Лагранжа.

Если:

f (x) непрерывна на [ а;b] и f (x) дифференцируема на ( а; b ), то найдется по крайней мере одна точка ζ , принадлежащая (а;b), такая что f ' (ζ) =( f (b) – f (a) )/ (b – a)

Геометрический смысл:

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к кривой параллельна секущей.

Эта теорема более общая по отношению к теореме Ролля.

Теорема Коши. ( еще более общая ).

Если: f(x) непрерывна на [а;b]

g (x) непрерывна на [а;b]

f (x) дифференцируема на (а;b)

g(x) дифференцируема на (а;b)

g ' (x) ≠ 0, то существует по крайней мере одна точка ζ, такая что:

f(b) – f(a) / g(b) – g(a) = f ' (ζ) / g ' (ζ) — формула Коши.

Замечание.

Теорема Лагранжа является следствием теоремы Коши. Если g (x) = x, тогда g '(x) = 1, следовательно: f(b) – f(a) / b – a = f ' (ζ) / 1

11 Вопрос: Правило Лопиталя:

Теорема

Пусть f(x) и g(x) имеют производную f’(x) и g'(x) ( не равных нулю) в некоторой окресности точки х0 ,кроме быть может самой точки х0 и существ. limf(x) при x-> x0 и limg(x) при x->x0

Теорема Лопиталя:



  1. либо ;
  2. и дифференцируемы в проколотой окрестности ;
  3. в проколотой окрестности ;
  4. существует ,

тогда существует .

12 Вопрос: Условия возрастания и убывания функции:


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)