Вопрос: Дифференцируемость функции. Дифференциал. Дифференцирование суммы, произведения и частного

Пусть функция определена на отрезке [а; b]

Определение.

Функция называется дифференцируемая в точке x о, которая принадлежит отрезку

[a;b ], если ее приращение в этой точке представлено в виде: ∆y = A∆x + α (∆x) ∙ ∆x, где А – число, независящее от ∆x, а α(∆x) → 0 при ∆x → 0.

Определение.

Если функция дифференцируема в точке x о, то часть приращения А ∙ ∆x при А≠0 называется дифференциалом функции и обозначается "dy". Если А≠0, то дифференциалом функции называется главная линейная часть приращения функции.

Теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости функции в точке:

Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала конечная производная.

∆y = A∆x + α (∆x) ∙ ∆x

А= f '(Хо) следовательно dy = f ' (Xо) ∙ ∆х

Принято писать так:

dy = f ' (x) ∙ dx — дифференциал в точке

Теорема о дифференцировании суммы, произведения. Частного.

Если две функции U (x) b V (x) имеют производную в точке x, то в этой точке имеют производные их суммы, произведения и частное при V ≠ 0.

При этом справедливы следующие формулы:

1. (U ± V) ' = U ' ± V’

2. (U∙ V)' = U ' ∙ V + V ' ∙ U

3. (U/V) ' = U ' ∙ V – U ∙ V ' / V^2, при V ≠ 0

Доказательство (через определение):

(ℓ - предел)

y = U + V

∆y = ∆ (U + V) = (U + ∆U + V + ∆V) – (U + V) = ∆U + ∆V

∆y/∆x = ∆U/∆x + ∆V/∆x

ℓ (∆U/∆x + ∆V/∆x) = ℓ ∆U/∆x + ℓ ∆V/∆x = U ' + V’

∆x→0 ∆x→ 0 ∆x→ 0

Таблица производных:

Поиск по сайту: