Приклад 2

Приведемо доведення теореми Піфагора. Розглянемо прямокутний трикутник з катетами а і b і гіпотенузою c:

Гострий кут напроти сторони а позначимо A. З міркувань розмірності площа трикутника S пропорційна квадрату однієї із сторін, скажімо, гіпотенузи:

Висота h, опущена з прямого кута на гіпотенузу, розбиває трикутник на два йому подібних, причому їх гіпотенузи рівні а і b відповідно. Гострий кут кожного з цих трикутників рівний A, тому їх площі можуть бути виражені як

Підставляючи ці формули в очевидну рівність S₁ + S₂ = S і скорочуючи на загальний множник f(A), приходимо до шуканої теореми:

3 Математичні моделі

3.1 Загальна характеристика математичної моделі

У загальному випадку під математичною моделлю об'єкту (системи) розуміється будь-який математичний опис, який відображає з необхідною точністю поведінку реального об'єкту (системи) в реальних умовах. Математична модель відображає записану на мові математики сукупність знань, уявлень і гіпотез дослідника про модельований об'єкт. Оскільки ці знання ніколи не бувають абсалютными, то модель лише приблизно враховує поведінку реального об'єкту.

Математичне моделювання - це засіб вивчення реального об'єкту, процесу або системи шляхом їх заміни математичною моделлю, зручнішою для експериментального дослідження за допомогою ЕОМ.

Математична модель є наближеним представленням реальних об'єктів, процесів або систем, вираженим в математичних термінах і таким, що зберігає істотні риси оригіналу. Математичні моделі в кількісній формі, за допомогою логіко-математичних конструкцій, описують основні властивості об'єкту, процесу або системи, його параметри, внутрішні і зовнішні зв'язки.

У загальному випадку математична модель реального об'єкту, процесу або системи представляється у вигляді системи функціоналів

Ф_i ( X,Y,Z, N, A ,t)=0,

де X - вектор вхідних змінних, X =[x₁,x₂,x₃,..., x_N, t],

Y - вектор вихідних змінних, Y =[y₁,y₂,y₃,..., y_N, t],

Z - вектор стану, Z =[z₁,z₂,z₃,..., z_N, t],

N - вектор зовнішніх дій, N =[n₁,n₂,n₃,..., n_N, t],

A – вектор внутрішніх параметрів, А =[a₁ , a₂ , a₃, …, a_P ],

t - координата часу.

Приклад: Візьмемо деяку просту систему регулювання, структурна схема якої представлена на рис.3.1.

Математичною моделлю системи є диференціальне рівняння:

k₁k₂(x-y) або + k₁k₂y= k₁k₂x

k1

Рис. 3.1 Система регулювання

Характеристики системи: ; Z(t) = [ z₁(t), z₂(t)]; z₁(t) = y(t); z₂ (t)= ; N(t) = 0; A =[k₁, k₂ ].

Функціонування системи полягає в зміні характеристик стану в часі. В деяких випадках характеристики стану можуть визначатися у вигляді явних функцій від параметрів системи, вхідних сигналів, початкових умов і часу. У інших випадках модель є системою рівнянь щодо характеристик станів системи і початкових сигналів. При цьому параметри входять в коефіцієнти рівнянь, а вхідні сигнали – в їх праві частини.

Побудова математичної моделі полягає у визначенні зв'язків між тими або іншими процесами і явищами, створенні математичного апарату, що дозволяє виразити кількісно і якісно зв'язок між тими або іншими процесами і явищами, між фізичними величинами, що цікавлять фахівця, і чинниками, що впливають на кінцевий результат. Зазвичай їх виявляється настільки багато, що ввести в модель всю їх сукупність не вдається. При побудові математичної моделі перед дослідженням виникає завдання виявити і виключити з розгляду чинники, що неістотно впливають на кінцевий результат (математична модель зазвичай включає значно менше число чинників, чим в реальній дійсності). На основі даних експерименту висуваються гіпотези про зв'язок між величинами, що виражають кінцевий результат, і чинниками, введеними в математичну модель. Такий зв'язок часто виражається системами диференціальних рівнянь в приватних похідних (наприклад, в задачах механіки твердого тіла, рідини і газу, теорії фільтрації, теплопровідності, теорії електростатичного і електродинамічного полів).

Форма і принципи представлення математичної моделі залежить від багатьох чинників.

Математичне моделювання, окрім дослідження об'єкту, процесу або системи і складання їх математичного опису, також включає:

· побудова алгоритму, що моделює поведінку об'єкту, процесу або системи;

· перевірка адекватності моделі і об'єкту, процесу або системи на основі обчислювального і натурного експерименту;

· корегування моделі;

· використання моделі.

Побудова математичної моделі зазвичай починається з побудови і аналізу простої, найбільш грубої математичної моделі даного об'єкту, процесу або системи. Надалі, у разі потреби, модель уточнюється, виконується її відповідність об'єкту повнішою.

Візьмемо простій приклад. Потрібно визначити площу поверхні письмового столу. Зазвичай для цього вимірюють його довжину і ширину, а потім перемножують отримані числа. Така елементарна процедура фактично позначає наступне: реальний об'єкт (поверхня столу) замінюється абстрактною математичною моделлю – прямокутником. Прямокутнику приписуються розміри, отримані в результаті вимірювання довжини і ширини поверхні столу, і площа такого прямокутника приблизно береться за шукану площу столу.

Проте модель прямокутника для письмового столу – це проста, найбільш груба модель. При серйознішому підході до завдання перш, ніж скористатися для визначення площі столу моделлю прямокутника, цю модель потрібно перевірити. Перевірки можна здійснити таким чином: зміряти довжини протилежних сторін столу, а також довжини його діагоналей і порівняти їх між собою. Якщо, з необхідним ступенем точності, довжини протилежних сторін і довжини діагоналей попарно рівні між собою, то поверхню столу дійсно можна розглядати як прямокутник. Інакше модель прямокутника доведеться відкинути і замінити моделлю чотирикутника загального вигляду. При вищій вимозі до точності може виникнути необхідність піти в уточненні моделі ще далі, наприклад, врахувати закруглення кутів столу.

Найпростіше будується модель, коли добре відомі закони, що визначають поведінку і властивості об'єкту, процесу або системи, і є великий практичний досвід їх застосування. Складніша ситуація виникає тоді, коли наші знання про об'єкт, що вивчається, процес або систему недостатні. В цьому випадку при побудові математичної моделі доводиться робити додаткові припущення, які носять характер гіпотез, така модель називається гіпотетичною. Виводи, отримані в результаті дослідження такої гіпотетичної моделі, носять умовний характер. Для перевірки виводів необхідно зіставити результати дослідження моделі на ЕОМ з результатами натурного експерименту. Таким чином, питання застосовності деякої математичної моделі до вивчення даного об'єкту, процесу або системи не є математичним питанням і не може бути вирішений математичними методами.

Основним критерієм істинності є експеримент, практика в найширшому сенсі цього слова.

Побудова математичної моделі в прикладних завданнях – один з найбільш складних і відповідальних етапів роботи. Досвід показує, що у багатьох випадках правильно вибрати модель – означає вирішити проблему більш, ніж наполовину. Трудність даного етапу полягає в тому, що він вимагає з'єднання математичних і спеціальних знань. Тому дуже важливо, щоб при вирішенні прикладних завдань математики володіли спеціальними знаннями про об'єкт, а їх партнери, фахівці, – певною математичною культурою, досвідом дослідження в своїй області, знанням ЕОМ і програмування.

3.2 Класифікація математичних моделей

Математичні моделі класифікуються:

– по приналежності до ієрархічного рівня: на моделі мікрорівня, макрорівня, метарівня.

Математичні моделі на мікрорівні процесу відображають фізичні процеси, що протікають, наприклад, при різанні металів. Вони описують процеси на рівні переходу (проходу).

Математичні моделі на макрорівні процесу описують технологічні процеси.

Математичні моделі на метарівні процесу описують технологічні системи (ділянки, цехи, підприємство в цілому).

– по характеру властивостей об'єкту, що відображаються, моделі можна класифікувати на структурних і функціональних.

Модель структурна, – якщо вона представима структурою даних або структурами даних і відносинами між ними; наприклад, структурною моделлю може служити опис (табличний, графовий, функціональний або інше) структури екосистеми. У свою чергу, структурна модель може бути ієрархічною або мережевою.

Модель ієрархічна (деревовидна), – якщо представима деякою ієрархічною структурою (деревом); наприклад, для вирішення завдання знаходження маршруту в дереві пошуку можна побудувати деревовидну модель, приведену на рис.3.2

Рис.3.2 Модель ієрархічної структури

Модель мережева, – якщо вона представима деякою мережевою структурою. Наприклад, будівництво нового будинку включає операції, приведені в нижченаведеній таблиці 3.1.

Таблиця 3.1

Ці операції можна представити у вигляді мережевої моделі, приведеної на

рис. 3.3.

Рис. 3.3 Мережевий графік будівництва робіт

Модель функціональна, – якщо вона представима у вигляді системи функціональних співвідношень. Наприклад, закон Ньютона і модель виробництва товарів – функціональні.

– за способом представлення властивостей об'єкту моделі діляться на аналітичні, чисельні, алгоритмічні і імітаційні.

Аналітичними математичними моделями є явні математичні вирази вихідних параметрів як функцій від параметрів вхідних і внутрішніх і мають єдині рішення за будь-яких початкових умов. Наприклад, процес різання (точіння) з погляду сил, що діють, є аналітичною моделлю. Також квадратне рівняння, що має одне або декілька рішень, буде аналітичною моделлю.

Модель буде чисельною, якщо вона має рішення за конкретних початкових умов (диференціальні, інтегральні рівняння).

Модель алгоритмічна, – якщо вона описана деяким алгоритмом або комплексом алгоритмів, що визначає її функціонування і розвиток. Введення даного типу моделей (дійсно, здається, що будь-яка модель може бути представлена алгоритмом її дослідження) цілком обгрунтоване, оскільки не всі моделі можуть бути досліджені або реалізовані алгоритмічно. Наприклад, моделлю обчислення суми нескінченного убуваючого ряду чисел може служити алгоритм обчислення кінцевої суми ряду до деякої заданої міри точності. Алгоритмічною моделлю кореня квадратного з числа Х можеслужити алгоритм обчислення його наближеного скільки завгодно точного значення по відомій рекурентній формулі.

Модель імітаційна, – якщо вона призначена для випробування або вивчення можливих шляхів розвитку і поведінки об'єкту шляхом варіювання деяких або всіх параметрів моделі, наприклад модель економічної системи виробництва товарів двох видів. Таку модель можна використовувати як імітаційної, з метою визначення і варіювання загальної вартості залежно від тих або інших значень об'ємів вироблюваних товарів.

– за способом отримання моделі діляться на теоретичні і емпіричні.

Теоретичні математичні моделі створюються в результаті дослідження об'єктів (процесів) на теоретичному рівні. Наприклад, існують вирази для сил різання, отримане на основі узагальнення фізичних законів. Але вони неприйнятні для практичного використання, оскільки дуже громіздкі і не зовсім адаптовані до реальних процесів обробки матеріалів.

Емпіричні математичні моделі створюються в результаті проведення експериментів (вивчення зовнішніх проявів властивостей об'єкту за допомогою вимірювання його параметрів на вході і виході) і обробки їх результатів методами математичної статистики.

– за формою представлення властивостей об'єкту моделі діляться на логічні, теоретико-множинні і графові.

Модель логічна, якщо вона представима предикатами, логічними функціями, наприклад, сукупність двох логічних функцій може служити математичною моделлю однорозрядного суматора.

Модель теоретико-множинна, – якщо вона представима за допомогою деяких множин і відносин приналежності ним і між ними.

Модель графова, – якщо вона представима графом або графами і відносинами між ними.

3.3 Побудова і аналіз математичних моделей

Початковим пунктом для побудови моделі, як правило, буває деяка емпірична реальна картина явища, яка висуває перед дослідником задачу, на яку потрібно знайти відповідь.

Основні етапи побудови і аналізу конкретних моделей представлено на рис. 3.4. Опишемо стисло ці етапи.

Етап 1. При з'ясуванні і постановці задачі на фізичному рівні проходить процес схематизації і ідеалізація явища (рис. 3.4), тобто виділення його істотних особливостей. Деякі риси явища можуть виявитися важливими, інші - неістотними.

Етап 2. Після виявлення істотних чинників потрібні дані перекладаються мовою математичних понять і величин: складаються системи визначальних параметрів явища, формулюються співвідношення між величинами і параметрами.

Це найважча стадія процесу моделювання. Тут досліднику доводиться часто спиратися на фундаментальні фізичні закони.

Етапи 3,4. Після побудови моделі (етап 3) слід проводити перевірку адекватності моделі явищу і логічній несуперечності або коректності постановки задачі. Так, можна використовувати вельми просте і завжди ефективне правило перевірки фізичної розмірності всіх членів рівнянь.

Рис.3.4 Етапи побудови і аналізу моделей

Етапи 3,4. Після побудови моделі (етап 3) слід проводити перевірку адекватності моделі явищу і логічній несуперечності або коректності постановки задачі. Так, можна використовувати вельми просте і завжди ефективне правило перевірки фізичної розмірності всіх членів рівнянь.

Етапи 5,6. Перевіряється справедливість моделі і результатам рішення теоретичної задачі відповідно до математичної моделі і зіставлення їх з реальною ситуацією, яка вивчається. Глибина віддзеркалення моделлю дійсності залежить від цілей дослідження.

Вид математичної моделі визначається не тільки природою реального об'єкту, але і тими завданнями, для вирішення яких будується модель, а також необхідною точністю їх рішень. Тому необхідні дослідження отриманої моделі з метою визначення області її найбільш ефективного використання при рішенні інженерної задачі і встановлення меж зміни змінних, в яких вона справедлива.

Розглянемо як приклад побудову моделі Сонячної системи.

Спостереження за зоряним небом почалися ще в глибокій старовині. Первинний аналіз цих спостережень дозволив виділити планети зі всієї різноманітності небесних світил. Отже, першим кроком було виявлення об'єкту дослідження. Іншим кроком стало виявлення закономірності руху планет, тобто «аксіом» гіпотетичної моделі. З початку була створена модель Птолемея (II ст. до н.е.) – геоцентрична модель. У ній Сонце і планети рухалися навколо Землі. Ці рухи описувалися за допомогою правил (формул), але у міру накопичення результатів спостереження вони постійно ускладнювалися.

М.Копернік в 1543 роцізапропонував принципово нову модель Сонячної системи - геліоцентричну. У ній всі планети обертаються навколо Сонця. Проте ця модель ще не була математичною, поскільки не було параметрів моделі (швидкостей руху планет, параметрів орбіт і т.д).

У XVII ст. Кеплерсформулював закон руху планет. Вони описували кінематику руху кожної планети окремо, не стосуючись причин, що викликають це рух.

І. Ньютон в 2 - й половині XVII століттязапропонував динамічну модель Сонячної системи. Вона базувалася на відкритому ним законі усесвітнього тяжіння. Динамічна модель Ньютона узгоджувалася з кінематичною моделлю Кеплера.

Проте в 40годах XIX ст.результатыдинамічній моделі почали суперечити накопичені результати спостережень. Наприклад, рух планети Уран відхилявся від теоретично обчисленного руху на моделі. Це дозволило Леверьє в 1846г. передбачити нову планету – Нептун, яка впливає на рух планети Уран. Пізніше в тому місці, на яке указував Леверьє, дійсно була відкрита планета Нептун.

Так само була передбачена і пізніше відкрита в 1930р планета Плутон. Одночасно з відкриттям нових планет, удосконалювалася і модель Сонячної системи.

3.4 Компонентні і топологічні рівняння модельованого об'єкту.

Поведінку більшості фізичних систем можна охарактеризувати за допомогою фазових змінних. Фазова змінна (ФЗ) -цевеличина, що характеризує фізичний або інформаційний стан модельованого об'єкту. Так, в електричній системі ФЗ це струми і напруги, а в механічній системі – сили і швидкості.

Закони функціонування елементів системи задаються компонентними рівняннями. Вони описують зв'язок ФЗ різного типу для кожного елементу системи. Компонентні рівняння- це рівняння математичних моделей елементів системи. Вони можуть бути лінійними, нелінійними, алгебраїчними, диференціальними або інтегральними.

Кожен елемент модельованого об'єкту повинен мати компонентне рівняння. Для більшості елементів такі рівняння вже отримані, їх використовують при моделюванні. Наприклад, в гідравліці для дроселя є аналітичний вираз, який зв'язує витрату і тиск:

, де Р – тиск, Па;

Q – витрата, м³ /c;

m _г ^– коефіцієнт маси, кг/м⁴ ;

μ _г – коефіцієнт демпфування, Н*с/м.

Зв'язок між однорідними ФЗ, які відносяться до різних елементів в підсистемах, встановлюється топологічними рівняннями. Вони відображають топологію взаємозв'язків елементів. Їх отримують на основі даних про структуру системи. Приклади топологічних рівнянь: у електричних системах – рівняння на основі законів Кірхгофа; у механічних системах – рівняння, що відображають принципи Д.Аламбераі додавання швидкостей і так далі. Очевидно, що процедура розробки топологічних рівнянь виконується для кожного моделюючого об'єкту, оскільки структури об'єктів різні.

Математичну модель системи отримують об'єднанням компонентних і топологічних рівнянь цієї системи.

4 Математичні схеми моделювання систем

4.1 Безперервно- детерміновані моделі ( D - схеми)

Розглянемо особливості безперервно-детермінованого підходу на прикладі використання в якості математичних моделей диференціальних рівнянь.

Зазвичай в таких математичних моделях незалежною змінною, від якої залежать невідомі шукані функції, служить час t. Тоді математичне співвідношення для детермінованих систем в загальному вигляді буде

де y ' = d y /dt, y = (y₁, у₂,..., у_п) и f = (f₁,f₂,…,f_n) - n -мірні вектори; f( y, t ) — вектор-функція, яка визначена на деякій (п+ 1) - мірній (у, t) множині і є безперервною.

Оскільки математичні схеми такого вигляду відображають динаміку системи, що вивчається, тобто її поведінку в часі, то вони називаються

D - схемами (англ. dynamic).

У простому випадку звичайне диференціальне рівняння має вигляд

Найбільш важливе для системотехніки застосування D-схем як математичний апарат в теорії автоматичного управління.

Для ілюстрації особливостей побудови і застосування D-схем розглянемо простий приклад формалізації процесу функціонування двох елементарних систем різної фізичної природи: механічної S_М (коливання маятника) і електричної S_K (коливальний контур).

Процес малих коливань маятника описується звичайним диференціальним рівнянням

де т_м, l_М — маса і довжина підвісу маятника; g — прискорення вільного падіння; θ(t) - кут відхилення маятника у момент часу t.

З цього рівняння вільного коливання маятника можна знайти оцінки характеристик, які цікавлять. Наприклад, період коливання маятника

Аналогічно, процеси в електричному коливальному контурі описуються звичайним диференціальним рівнянням

де L_K, С_K — індуктивність і ємкість конденсатора; q (t) — заряд конденсатора у момент часу t.

З цього рівняння можна отримати різні оцінки характеристик процесу в коливальному контурі. Наприклад, період характеристичних коливань

Очевидно, що, ввівши позначення h_o = m_M l ²_M = L_K, h₁ = 0, h₂ = m_M g l_M = 1/С_K, θ(t) = q(t)=z(t), отримаємо звичайне диференціальне рівняння другого порядку, що описує поведінку цієї замкнутої системи:

(4.1)

де h₀, h₁ , h₂ — параметри системи; z(t) — стан системи у момент часу t.

Таким чином, поведінка цих двох об'єктів може бути досліджена на основі загальної математичної моделі (4.1). Крім того, необхідно відзначити, що поведінка однієї з систем може бути проаналізоване за допомогою іншої. Наприклад, поведінка маятника (системи S_М) може бути вивчене за допомогою електричного коливального контура (системи S_К).

Якщо система S, що вивчається, тобто маятник або контур, взаємодіє із зовнішнім середовищем Е, тоз'являється вхідна дія x(t) ( зовнішня сила для маятника і джерело енергії для контура) і безперервно-детермінована модель такої системи матиме вигляд

З погляду загальної схеми математичної моделі х(t) є вхідною (управляючою) дією, а стан системи S в даному випадку можна розглядати як вихідну характеристику, тобто вважати, що вихідна змінна співпадає із станом системи в даний момент часу у = z.

4.2 Безперервно- стохастичні моделі ( Q - схеми)

Особливості безперервно-стохастичного підходу розглянемо на прикладі використання в якості типових математичних схем систем масового обслуговування (англ. queueing system), які називатимемо Q-схемами. Системи масового обслуговування є класом математичних схем, розроблених в теорії масового обслуговування і різних застосуваннях для формалізації процесів функціонування систем, які за своєю суттю є процесами обслуговування. Системи масового обслуговування - це такі системи, в які у випадкові моменти часу поступають заявки на обслуговування. Заявки, що при цьому поступили, обслуговуються за допомогою каналів обслуговування, що є у розпорядженні системи.

В якості процеса обслуговування можуть бути представлені різні по своїй фізичній природі процеси функціонування економічних, виробничих, технічних і інших систем, наприклад потоки постачань продукції деякому підприємству, потоки деталей і комплектуючих виробів на складальному конвеєрі цеху, заявки на обробку інформації ЕОМ від віддалених терміналів і так далі. При цьому характерною для роботи таких об'єктів є випадкова поява заявок (вимог) на обслуговування і завершення обслуговування у випадкові моменти часу, тобто стохастичний характер процесу їх функціонування. Зупинимося на основних поняттях масового обслуговування, необхідних для використання Q-схем, якпри аналітичному, так і при імітаційному.

У будь-якому елементарному акті обслуговування можна виділити дві основні складові: очікування обслуговування заявкою і власне обслуговування заявки. Це можна зобразити у вигляді деякого i-го приладу обслуговування П_i (рис. 4.1), що складається з накопичувача заявок H_i (черга), і каналу обслуговування заявок (або просто каналу) K_i. На кожен елемент приладу обслуговування П_i поступають потоки подій: у накопичувач H_i — потік заявок w_i, на канал K_i — - потік обслуговувань u_i.

Потоком подій називається послідовність подій, що відбуваються одне за іншим в якісь випадкові моменти часу. Розрізняють потоки однорідних і неоднорідних подій. Потік подій називається однорідним, якщо він характеризується тільки моментами надходження цих подій (моментами появи) і задається послідовністю

{t_n} = { 0 ≤ t₁ ≤ t₂ ≤... ≤ t_n ≤... }, де t_n — момент настання n-ї події — ненегативне дійсне число. Однорідний потік подій також може бути заданий у вигляді послідовності проміжків часу між n-м і (n-1) -м подіями {τ_n}.

Рис. 4.1 Прилад обслуговування

Потоком неоднорідних подій називається послідовність (t_n, f_n), де t_n -вызывающие моменти; f_n — набір ознак події. Наприклад, стосовно процесу обслуговування для неоднорідного потоку заявок можуть бути задані приналежність до того або іншого джерела заявок, наявність пріоритету, можливість обслуговування тим або іншим типом каналу і тому подібне

Приклад потоку подій приведений на рис. 4.2, де позначене T_j - інтервал між подіями (випадкова величина); T_H - час спостереження, T_с - момент здійснення події.

Рис. 4.2 Схема потоку подій

Якщо T_j = const або визначено якою-небудь формулою T_j = f(T_j-1), то потік називається детермінованим. Інакше потік називається випадковим.

Заявки, обслужені каналом і заявки, що покинули прилад, з різних причин необслуженими (наприклад, через переповнювання накопичувача), утворюють вихідний потік. Інтервали часу між моментами виходу заявок утворюють підмножину вихідних змінних.

Процес функціонування пристрою обслуговування, можна представити як процес зміни станів його елементів в часі z_i(t). Перехід в новий стан системи означає зміна кількості заявок, які в нім знаходяться (у пристрої обслуговування і в черзі).

У практиці моделювання систем, що мають складніші структурні зв'язки і алгоритми поведінки, для формалізації використовуються не окремі прилади обслуговування, а Q-схемы, що утворюються композицією багатьох елементарних приладів обслуговування (мережі масового обслуговування). Якщо канали різних приладів обслуговування сполучені паралельно, то має місце багатоканальне обслуговування (багатоканальна Q-схема), а якщо прилади і їх паралельні композиції сполучені послідовно, то має місце багатофазне обслуговування (багатофазна Q-схема). Таким чином, для завдання Q-схемы необхідно використовувати оператор сполучення R, що відображає взаємозв'язок елементів структури (каналів і накопичувачів) між собою.

Зв'язки між елементами Q-схемы зображають у вигляді стрілок (ліній потоку, що відображають напрям руху заявок). Розрізняють розімкнені і замкнуті Q-схеми. У розімкненій Q-схемі вихідний потік обслужених заявок не може знову поступити на який-небудь елемент, тобто зворотній зв'язок відсутній, а в замкнутих Q-схемах єзворотні зв'язки, по яких заявки рухаються в напрямі, зворотному руху вхід-вихід.

Для завдання Q-схемы також необхідно описати алгоритми її функціонування, які визначають набір правил поведінки заявок в системі в різних неоднозначних ситуаціях. Залежно від місця виникнення таких ситуацій розрізняють алгоритми (дисципліни) очікування заявок в накопичувачі (черзі)і обслуговування заявок каналом кожного елементарного обслуговуючого приладу Q-схемы. Неоднорідність заявок, що відображає процес в тій або іншій реальній системі, враховується за допомогою введення класів пріоритетів.

Виходячи з правил вибору заявок з накопичувача H_i на обслуговування каналом K_i можна виділити відносні і абсолютні пріоритети. Відносний пріоритет означає, що заявка з вищим пріоритетом, що поступила в накопичувач, чекає закінчення обслуговування попередньої заявки каналом, і лише після цього займає канал. Абсолютний пріоритет означає, що заявка з вищим пріоритетом, що поступила в накопичувач перериває обслуговування каналом заявки з нижчим пріоритетом і сама займає канал (при цьому витіснена з каналу обслуговування заявка може або покинути систему, або може бути знову записана на якесь місце в накопичувач).

4.3 Дискретно-детерміновані моделі (F - схеми)

Особливості дискретно-детермінованого підходу на етапі формалізації процесу функціонування систем розглянемо на прикладі використання в якості математичного апарату теорії автоматів. Теорія автоматів - це розділ теоретичної кібернетики, в якому вивчаються математичні моделі - автомати. На основі цієї теорії система представляється у вигляді автомата, що переробляє дискретну інформацію і що міняє свої внутрішні стани лише в допустимі моменти часу. Поняття «автомат» варіюється залежно від характеру систем, що конкретно вивчаються, від прийнятого рівня абстракції і доцільного ступеня спільності.

Автомат можна представити як деякий пристрій (чорний ящик), на який подаються вхідні сигнали і знімаються вихідні і який може мати деякі внутрішні стани. Кінцевим автоматом називається автомат, у якого безліч внутрішніх станів і вхідних сигналів (а отже, і безліч вихідних сигналів) є кінцевими множинами.

Абстрактно кінцевий автомат (англ. finite automata) можна представити як математичну схему (F-схему), що характеризується шістьма елементами: кінцевою множиною X вхідних сигналів (вхідним алфавітом); кінцевою множиною Y вихідних сигналів (вихідним алфавітом); кінцевою множиною Z внутрішніх станів (внутрішнім алфавітом або алфавітом станів); початковим станом z₀, z_o є Z; функцією переходів φ (z, х); функцією виходів ψ (z, x). Автомат, що задається F-схемой: F=(Z, X, Y, φ, ψ, z_o) - функціонує в дискретному автоматному часі, моментами якого є такти, тобто рівні інтервали часу, що примикають один до одного, кожному з яких відповідають постійні значення вхідного і вихідного сигналів і внутрішні стани. Позначимо стан, а також вхідний і вихідний сигнали, відповідні t -му такту при t = 0, 1, 2..., через z(t), x(t), у(t). Прицьому, по умові, z(0)= z _o, а z(t) є Z, x(t) є X, у(t) є Y.

Абстрактний кінцевий автомат має один вхідний і один вихідний канали. У кожен момент t = 0, 1, 2... дискретного часу F-автомат знаходиться в певному стані z(t) з безлічі Z станів автомата, причому в початковий момент часу t=0 він завжди знаходиться в початковому стані z(0)=z_o. У момент t, будучи в стані z(t), автомат здатний сприйняти на вхідному каналі сигнал x(t) є X і видати на вихідному каналі сигнал y(t) = ψ [z (t), x (t) ], переходячи в стан z (t +1) = φ [z (t), x (t)], z (t) є Z, у (t) є Y. Абстрактний кінцевий автомат реалізує деяке відображення множини слів вхідного алфавіту X на множину слів вихідного алфавіту Y. Іншими словами, якщо на вхід кінцевого автомата, встановленого в початковий стан z₀, подавати в деякій послідовності букви вхідного алфавіту х(0), х(1), х(2)..., тобто вхідне слово, то на виході автомата послідовно з'являтимуться букви вихідного алфавіту у(0), у(1), у(2)..., утворюючи вихідне слово.

Таким чином, робота кінцевого автомата відбувається по наступній схемі: у кожному t-м такті на вхід автомата, що знаходиться в стані z(t), подається деякий сигнал x(t), на який він реагує переходом в (t+1) -му такті в новий стан z(t+1) і видачею деякого вихідного сигналу. Сказане вище можна описати наступними рівняннями:

для F – автомата першого роду, званого також автоматом Мілі

(4.2)

(4.3)

для F – автомата другого роду:

(4.4)

(4.5)

Автомат другого роду, для якого

тобто функція виходів не залежить від вхідної змінної x(t), називається автоматом Мура.

По числу станів розрізняють кінцеві автомати з пам'яттю і без пам'яті. Автомати з пам'яттю мають більш за один стан, а автомати без пам'яті (комбінаційні або логічні схеми) володіють лише одним станом. Робота комбінаційної схеми полягає в тому, що вона ставить у відповідність кожному вхідному сигналу x(t) певний вихідний сигнал у(t), тобто реалізує логічну функцію вигляду

Ця функція називається булевою, якщо алфавіти X і У, яким належать значення сигналів х і у, складаються з двох букв.

По характеру відліку дискретного часу кінцеві автомати діляться на синхронні і асинхронні. У синхронних F-aвmoматах моменти часу, в які автомат «прочитує» вхідні сигнали, визначаються примусово синхронізуючими сигналами. Після чергового синхронізуючого сигналу з урахуванням «считаного» і відповідно до рівнянь (4.2) — (4.5) відбувається перехід в новий стан і видача сигналу на виході, після чого автомат може сприймати наступне значення вхідного сигналу. Таким чином, реакція автомата на кожне значення вхідного сигналу закінчується за один такт, тривалість якого визначається інтервалом між сусідніми синхронізуючими сигналами. Асинхронний F-автомат прочитує вхідний сигнал безперервно, і тому, реагуючи на достатньо довгий вхідний сигнал постійної величини х, він може, як випливає з (4.2) — (4.5), кілька разів змінювати стан, видаючи відповідне число вихідних сигналів, поки не перейде в стійке, яке вже не може бути змінене даним вхідним сигналом.

Щоб задати кінцевий F-автомат, необхідно описати всі елементи множини F= (Z, X, Y,φ, ψ, z_o) тобто вхідний, внутрішній і вихідний алфавіти, а також функції переходів і виходів, причому серед множини станів необхідно виділити стан z_0, в якому автомат знаходився у момент часу t=0. Існуєдекілька способів завдання роботи F-автоматів, але найчастіше використовуються табличний, графічний і матричний.

Простий табличний спосіб завдання кінцевого автомата заснований на використанні таблиць переходів і виходів, рядки яких відповідають вхідним сигналам автомата, а стовпці - його станам.

При іншому способі завдання кінцевого автомата використовується поняття направленого графа. Граф автомата є набором вершин, відповідних різним станам автомата, і дуг графа, що сполучають вершини, відповідних тим або іншим переходам автомата.

При вирішенні завдань моделювання систем часто зручнішою формою є матричне завдання кінцевого автомата. При цьому матриця з'єднань автомата є квадратна матриця С=||сij||, рядки якої відповідають початковим станам, а стовпці — станам переходу.

Таким чином, поняття F-автомата в дискретно-детермінованому підході до дослідження на моделях властивостей об'єктів є математичною абстракцією, зручною для опису широкого класу процесів функціонування реальних об'єктів в автоматизованих системах обробки інформації і управління. Як такі об'єкти в першу чергу слід назвати елементи і вузли ЕОМ, пристрої контролю, регулювання і управління, системи часової і просторової комутації в техніці обміну інформацією і так далі. Для всіх перерахованих об'єктів характерна наявність дискретних станів і дискретний характер роботи в часі, тобто їх опис за допомогою F-схем єефективним. Але широта їх застосування не означає універсальності цих математичних схем. Наприклад, цей підхід непридатний для опису процесів ухвалення рішень, процесів в динамічних системах з наявністю перехідних процесів і стохастичних елементів.

4.4 Дискретно-стохастичні моделі ( P -схеми)

Розглянемо особливості побудови математичних схем при дискретно-стохастичному підході до формалізації процесу функціонування досліджуваної системи S. Оскільки суть дискретизації часу при цьому підході залишається аналогічною розглянутим в 4.3 кінцевим автоматам, той вплив чинника стохастичності прослідкуємо також на різновиді таких автоматів, а саме на імовірнісних (стохастическиих) автоматах.

У загальному вигляді імовірнісний автомат (англ. probabilistic automat) можна визначити як дискретний потактный перетворювач інформації з пам'яттю, функціонування якого в кожному такті залежить тільки від стану пам'яті в нім і може бути описане статистично.

Застосування схем імовірнісних автоматів (Р-схем) має важливе значення для розробки методів проектування дискретних систем, що проявляють статистично закономірну випадкову поведінку, для з'ясування алгоритмічних можливостей таких систем в обгрунтування меж доцільності їх використання, а також для вирішення завдань синтезу по вибраному критерію дискретних стохастичних систем, які задовольняють заданим обмеженням.

Введемо математичне поняття Р-автомата, використовуючи поняття, введені для F-автомата. Розглянемо множину G, елементами якої є всілякі пари (х_i, z_s), де х_i і z_s - елементи вхідної підмножини X і підмножини станів Z відповідно. Якщо існують дві такі функції φі ψ, і з їх допомогою здійснюються відображення G → Z і G → Y, то говорять, що F= (Z, X, Y,φ, ψ) визначає автомат детермінованого типу.

Введемо в розгляд більш загальну математичну схему. Хай Ф - множина всіляких пар виду (z_k, у_j), де у_j - елемент вихідної підмножини Y. Зажадаємо, щоб будь-який елемент множини G індукував на множині Ф деякий закон розподілу наступного вигляду:

Елементи з Ф …(z₁ y₁) … (z₁ y₂) … … (z_K y_J-1)(z_K y_J)
(х_i z_s) … b₁₁ b ₁₂ … b_K(J-1) b_kJ.

При цьому де b_kj — вірогідність переходу автомата в стан z_k і появи на виході сигналу у_j якщо він був в змозі z_s, і на його вхід у цей момент часу поступив сигнал x_i. Число таких розподілів, представлених у вигляді таблиць, рівне числу елементів множини G. Позначимо множину цих таблиць через В. Тоді четвірка елементів P=(Z, X, Y, В) називається імовірнісним автоматом (Р-автоматом).

Хай елементи множини G індукують деякі закони розподілу на підмножинах Y і Z, що можна представити відповідно у вигляді:

Елементи з У … y₁ … y₂ … y _{J - 1} … y _J

(x_i, z_s) … q₁ … q₂ … q _{J - 1} … q _J

Елементи з Z … z₁ … z₂ … z _{k - 1} … z _k

(x_i, z_s) … z₁ … z₂ … z _{k - 1} … z _k

При цьому і де z_k і q_k — вірогідність переходу Р- автомата в стан z_k і появи вихідного сигналу у_к за умови, що Р-автомат знаходився в стані z_s і на його вхід поступив вхідний сигнал x_i.

Якщо для всіх k і j має місце співвідношення q_k z_i = b_kj, то такий Р-автомат називається імовірнісним автоматом Мілі. Ця вимога означає виконання умови незалежності розподілів для нового стану Р-автомата і його вихідного сигналу.

Хай тепер визначення вихідного сигналу Р-автомата залежить лише від того стану, в якому знаходиться автомат в даному такті роботи. Іншими словами, хай кожен елемент вихідної підмножини Y індикує розподіл вірогідності виходів, що має наступний вигляд:

Елементи з У … y₁ … y₂ … y_k-1 … y_k
(x_i, z_s) … s₁ … s₂ … s_I-1 … s_I

Тут де s_i — вірогідність появи вихідного сигналу y_s за умови, що Р-автомат знаходився в стані z_k.

Якщо для всіх k і i має місце співвідношення z_k s_i = b_ki, то такий Р-автомат називається імовірнісним автоматом Мура. Поняття Р-автоматів Мілі і Мура введене по аналогії з детермінованим F-автоматом, який задається F= (Z, X, Y, φ,ψ). Окремим випадком Р-автомата, що задається як Р= (Z. X, Y, В), є автомати, у яких або перехід в новий стан, або вихідний сигнал визначаються детерміновано. Якщо вихідний сигнал Р-автомата визначається детерміновано, то такий автомат називається Y-детерминированным імовірнісним автоматом. Аналогічно, Z-детерминированным імовірнісним автоматом називається Р-автомат, у якого вибір нового стану є детермінованим.

5 Математична модель електричного ланцюга

5.1 Компонентні і топологічні рівняння електричного ланцюга

Математична модель будь-якого електричного ланцюга складається з компонентних і топологічних рівнянь цього ланцюга.

5.1.1 Компонентні рівняння

Ці рівняння відображають залежність між струмом і напругою для елемента схеми:

а) для лінійного резистивного елементу:

U_R(t)=Ri_R(t);

б) для лінійного індуктивного елементу:

U_L(t)=L ; i_L(t)=

в) для лінійного ємкісного елементу:

i_c(t)=c ; U_c(t)=

5.1.2 Топологичні рівняння

Ці рівняння характеризують спосіб з'єднання гілок, не відображаючи їх вмісту. Топологічні рівняння зазвичай будуються на законах Кирхгофа. Як відомо, є закон Кирхгофа для струмів (ЗКС) і закон Кирхгофа для напруг (ЗКН). ЗКТ формулюється так: алгебраїчна сума струмів пов'язаних з вузлом, рівна нулю. На рис 5.1a. показаний вузол. Для нього ЗКС записується так:

і₁ + i₂ - i₃ = 0; (5.1)

Струми, які втікають в вузол мають один знак (наприклад, знак «+»), а струми, які витікають з вузла – протилежний.

ЗКН звучить так: в замкнутому контурі алгебраїчна сума напруг на елементах контура рівна алгебраїчній сумі ЕРС, діючих в цьому контурі. Якщо в контурі вісутні ЕРС, то алгебраїчна суманапруг на елементах контура рівна нулю. Для контура, зображеного на рис 5.1б. ЗКС записують так:

U₁ + U₃ - U₂ = 0; (5.2)

а) б)

Рис.5.1 Вузол і контур електричного ланцюга

Напруга, позитивний напрям якої співпадає з напрямом обходу контура, береться з одним знаком (наприклад, з знаком «+»), а напруга, позитивний напрям якої протилежний напряму обхода контура, - з протилежним знаком.

Рівняння (5.1) і (5.2) не містить відомостей про те, які типи елементів включені в гілці і які їх параметри. Відомо, що якщо в схемі n- вузлів, то по ЗКC можна скласти (n-1) незалежних рівнянь. Для складання рівнянь по ЗКН в схемі повинні бути знайдені незалежні замкнуті контури, тобто такі контура, в кожному з яких є хоч би одна гілка, що не входить у всі інші контури. Пошук незалежних контурів для ланцюга з складною конфігурацією (топологією) є відносно великою трудністю. Щоб отримати топологічні рівняння кожну гілку електричного ланцюга представляють лінією, яка сполучає відповідні вузли. Виходить так званий граф ланцюга.

Приклад:

Рис.5.2 Електричний ланцюг і його граф

Вибір позитивного напряму струму і напруги на графі робиться довільно. При цьому вважається, що выбраное позитивний напрям струму одночасно є і позитивним напрямом напруги.

5.2 Матриця головних перетинів і її властивості

Візьмемо граф деякого ланцюга (рис. 5.3а).

Рис.5.3 Граф електричного ланцюга і його дерева

Сукупність гілок графа, в якій опиняються представленими всі вузли, але при цьому не утворюється жодного замкнутого контура, називають деревом графа. На рис 5.3б,в представлено два варіанти дерев графа, побудовані з графа ланцюга (можна побудувати і інші варіанти дерева). Гілки, що входять у вибране дерево називаються ребрами. Гілки, що не увійшли до вибраного дерева, називаються хордами. Таким чином, кожна гілка графа є або його ребром, або хордою.

Замкнута лінія, яка одноразово перетинає гілки деякої сукупності гілок графа і розділяє граф на дві незв'язані частини називається перетином. Якщо така лінія перетинає одне ребро, то перетин вважається головним. На рис. 5.4 показаний приклад побудови головних перетинів. Тут головним перетинам привласнена нумерація тих ребер, які входять в ці перетини.

Зазвичай ЗКС формулюється щодо вузлів, але його можна формулювати і щодо головних перетинів. ЗКС для перетинів звучить так: алгебраїчна сума струмів щодо головного перетину рівна нулю.

Дотримуючись такого формулювання ЗКС, отримуємо наступну систему рівнянь для головних перетинів, показаних на рис. 5.4.

Рис.5.4 Приклад побудови головних перетинів

або

(для головного перетину С₁);

(для головного перетину С₂);

(для главного сечения С₃);

(для головного перетину С₄);

(для головного перетину С₇).

Запишемо цю систему рівнянь в матричній формі:

Ввівши позначення для вхідних у вираз матриць, можна подібну систему рівнянь представити в загальному вигляді, справедливому для довільної схеми:

Матриця називається матрицею головних перетинів. Вона визначає зв'язок між струмами ребер і струмами хорд . Рядки матриці головних перетинів належать ребрам, а стовпці - хордам графа.

З матриці витікає не тільки система рівнянь по ЗКС, але і система рівнянь по ЗКН. Елементи стовпців матриці є коефіцієнтами, що лінійно зв'язують напругу хорд, відповідних стовпцям, з напругою ребер. Так, для вказаної вище матриці можна записати наступну систему рівнянь для ЗКН:

У матричній формі цю систему рівнянь можна записати так:

де - вектор напруги хорд; - транспонована матриця ;

- вектор напруги ребер.

Таким чином, матриця головних перетинів визначає повну систему топологічних рівнянь.

5.3 Матриця головних перетинів довільної схеми

У матриці головних перетинів, як вже наголошувалося, стовпці належать хордам, а рядки – ребрам дерева графа. При побудові дерева графа зазвичай в ребрах групують:

- джерела напруги;

- конденсатори;

- резистори.

У хордах, як правило, залишаються:

- резистори;

- індуктивності;

- джерела струмів.

Візьмемо узагальнену матрицю головних перетинів і виділимо в ній стовпці і рядки, що належать конкретним елементам.

Враховуючи таке позначення, можна матрицю розбити на підматриці.

Індекси підматриць указують типи гілок, яким належать рядки і стовпці підматриці.

Сформоване вище правило побудови рівнянь струмів і напруги з використанням матриці можна розповсюдити і на випадок, коли ця матриця представлена підматрицями.

Підматриці, розташовані в рядку і узяті із зворотним знаком, є коефіцієнтами, що зв'язують вектор струму групи ребер, якій належить рядок, з вектором струму відповідних груп хорд. Наприклад:

Підматриці, розташовані уздовж стовпця деякої групи однотипних хорд, після транспортування є коефіцієнтами, що лінійно зв'язують вектор напруги цих хорд з вектором напруги відповідних груп ребер. Наприклад:

5.4 Формування матриці головних перетинів

Формування матриці проводиться в два етапи. На першому етапі по введених в ЕОМ даним ланцюга формується структурна матриця (матриця інциденцій). На другому етапі шляхом перетворення із структурної матриці будують матрицю .

5.4.1 Формування структурної матриці

Розглянемо побудову матриці на прикладі графа ланцюга, представленого на рис.5.3а. Складемо матрицю наступного вигляду. Припишемо стовпці матриці певним гілкам графа, а рядки – його вузлам. Дамо елементам цієї матриці наступні значення:

При нумерації гілок дотримуються наступної ієрархії: керовані джерела напруги, незалежні джерела напруги, ємкісні, резистивні, індуктивні елементи, незалежні джерела струму, керовані джерела струму.

Нумерація починається з гілок, що належать вищому ступеню ієрархії. Вичерпавши їх продовжать нумерацію, перейшовши до гілок наступного ступеня ієрархи і так далі, поки не буде пронумеровані всі гілки схеми. Саме так були пронумеровані гілки в графі на рис.5.3а. Для цього графа побудуємо наступну матрицю:

Кожен i - й рядок такої матриці показує, які гілки підключені до i - го вузла і який їх напрям щодо вузла; а кожен j - й стовпець указує, з якими вузлами сполучена j - а гілка.

Слід зазначити, що один з рядків матриці не є незалежним, він не несе інформації і може бути без наслідків вилучений з матриці. Викресливши в останній рядок, отримуємо:

Цю матрицю називають структурною і вона дає топологічний опис ланцюга. Оскільки рядки матриці указують гілки, підключені до відповідних вузлів, і їх напрям щодо вузлів, то перемножаючи рядки матриці на вектор струмів гілок , отримуємо алгебраїчну суму струмів у вузлах, рівну нулю (відповідно до ЗКC). Отже

Цей матричний запис відповідає наступній системі рівнянь:

5.4.2. Отримання матриці головних перетинів

Для отримання матриці необхідно дану систему рівнянь вирішити щодо струмів ребер. Цю операцію можна виконати методом виключення змінних: зі всіх рівнянь, окрім першого, виключається струм i_{1 ,} потім зі всіх рівнянь, окрім другого виключаємо струм i₂, і так далі Виключення змінних дозволяє перетворити матрицю так, що в її лівій частині утворюється одинична матриця, а права частина буде шуканою матрицею головних перетинів . В ході перетворення використовується перестановка рядків і стовпців матриці, підсумовування або віднімання рядків. Покажемо це на прикладі перетворення матриці

Така сама матриця була отримана раніше.

5.5 Вектор стану електричного ланцюга

Візьмемо лінійний RLC – ланцюг. Винесемо за межі аналізованого лінійного RLC – ланцюга (рис. 5.5а) незалежні джерела і реактивніелементи L і C.

Рис.5.5 Лін

Поиск по сайту: