АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ КАНАЛОВ

Читайте также:
  1. Can-Am-2015: новые модели квадроциклов Outlander L и возвращение Outlander 800R Xmr
  2. YIII.5.2.Аналогия и моделирование
  3. Авторегрессионные модели временных рядов
  4. Алгоритмизация модели и её машинная реализация
  5. Анализ деятельности Финской спортивной федерации по модели процесса эффективности функционирования
  6. Анализ эффективности использования ОС: факторные модели фондорентабельности и фондоотдачи
  7. Аналитические модели
  8. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
  9. Ассортимент моделирующих средств.
  10. Базы данных. Модели данных
  11. БАНКОВСКАЯ СИСТЕМА И МОДЕЛИ ЕЕ ПОСТРОЕНИЯ
  12. Блокаторы кальциевых каналов
   
История телекоммуникационных радиосистем насчитывает не одно десятилетие. Начиная с первой экспериментальной радио-передачи, сделанной профессором А.С. Поповым в 1895 году, в её развитии были периоды замедленного роста и короткие по времени интервалы, чрезвычайно интенсивные по раскрытию новых возможностей беспроводной передачи информации: радиосвязь через Атлантический океан в 1906-1911 годах (длинные волны), системы радиовещания в 1925-1930 годы (длинные и средние волны), оперативная радиосвязь во время Второй мировой войны (короткие волны), системы телевещания в 1955-1960 годах (ультракороткие волны). В настоящее время наиболее бурно развивающимся видом радиосвязи стали мобильные системы, использующие сверхвысокие частоты (800 –2000 МГц). 4.1. Концептуаль-ная модель канала передачи данных Системы передачи дискретной информации  
Рис. 4.1. Структурная схема системы передачи информации  
Нарис. 4.1приведена укрупнённая структурная схема системы передачи информации [27]. Источник сообщений генерирует последова­тельность символов .Эта последовательность дол­жна быть передана получателю в виде последовательности . Предполагается, что все символы выбираются из некоторого конечного множества А, которое называют алфавитом источника. Это могут быть, например, двоичные символы, буквы русского алфавита и т. п. Аналогично сим­волы ,поступающие к получателю, также принадлежат конечному алфавиту получателя В. Алфавиты А и В не обязательно совпадают. Например, входной алфавит А, использованный при написании программы на языке Фортран, состоит из 49 символов, а выходной алфавит В при записи программы в память ЭВМ – из двух. Сообщение поступает на вход кодера, который преобразует входные символы. Функции кодера могут быть различными.   Канал связи на рис. 4.1 иногда называют линией связи     26 букв латинского алфавита, 10 арабских цифр, 13 специальных знаков   В элемент памяти записывается либо символ 0, либо символ 1  
    Например, одни символы встречаются в среднем чаще других     Кодер может повторять каждый символ     Иногда декодер и демодулятор могут быть совмещены, и восстанавлива-ются непосред-ственно по сигналам на выходе канала связи Во-первых, он может просто изменять форму представления входного сообщения, используя на выходе другой алфавит. Во-вторых, если источник сообщений обладает статистической избыточностью, то функцией кодера может быть устранение этой избыточности, т. е. наиболее экономное представление входных данных. Эту операцию называют кодированием источника. В-третьих, кодер может, напротив, вводить избыточность для повышения помехоустойчивости приема. Эту операцию называют кодированием для канала. Все эти функции могут быть и совмещены, однако теории такого многофункционального кодирования в настоящее время не существует. Выходные символы кодера поступают на модулятор, который вырабатывает физические сигналы , соответствующие каждому символу. Эти сигналы передаются по каналу связи. В процессе передачи сигналы могут искажаться, так что на вход демодулятора поступают, вообще говоря, другие сигналы . Демодулятор преобразует входные сигналы в последовательность символов , а декодер по этой последовательности восстанавливает (возможно, с ошибками) сообщение . Часть тракта передачи от входа модулятора до выхода демодулятора иногда называют дискретным каналом, имея в виду, что и вход и выход канала в этом случае представляют собой последовательности символов из конечных алфавитов. Свойства дискретного канала полностью определяются модулятором, каналом связи и демодулятором. Желательно модулятор и демодулятор выбирать так, чтобы искажения, вносимые дискретным каналом, были минимальными в каком-нибудь смысле. Например, можно потребовать, чтобы была минимальной вероятность ошибочного приема одиночных символов. Функция декодера состоит в выдаче получателю предполагаемого сообщения. Для этого анализируется последовательность на выходе демодулятора и производится исправление ошибок. В некоторых случаях декодер может выполнять и другие функции. Например, можно спроектировать декодер так, чтобы в «надежных» случаях он выдавалполучателю предполагаемое сообщение, а в «сомнительных» –  
специальный сигнал отказа от декодирования. Иногда между получателем и источником сообщений существует канал обратной связи. В таких случаях декодер вместо исправления ошибок выполняет более простую операцию – обнаружение ошибок. Если ошибки обнаружены, то по каналу обратной связи передается, например, сигнал o повторной передаче сообщения. Итак, основой любой системы передачи данных является канал передачи данных. Подробная структурная схема канала представлена на рис. 4.2 [34]. Блоки, входящие в эту схему, имеют следующие обозначения:    
  Рис. 4.2. Развёрнутая структурная схема системы передачи информации  
КК (ДК) – кодер (декодер) канала, обеспечивает корректирующее кодирование с целью защиты от ошибок; П (ДП) – перемежитель (деперемежитель), обеспечивает перемежение с целью декорреляции ошибок; УПС – устройство преобразования сигнала обеспечивает согласова­ние характеристик внутрисистемных сигналов с параметрами непрерыв­ного канала связи. В общем случае могут использоваться различные виды модуляции и линейного кодирования; ДМ – демодулятор с пороговым устройством; Р – регистрирующее устройство, принимает решение о значащей позиции на текущем единичном интервале; УК – средства управления каналом. Канал передачи данных является иерархической системой. Нижний уровень данной системы представлен непрерывным каналом связи (НКС). Далее следуют дискретный Функции, выполняемые блоками структурной схемы, и их соответствие физическому и канальному уровням модели OSI подробно рассмотрены в [36]  
  СПДС – система передачи дискрет­ных сообщений     Линейные и нелинейные искажения в канале связи   Шумы и помехи в канале связи     Замирания в радиоканалах   Затухания в кабельных и воздушных линиях   Более подробную классификацию помех можно найти в [35] ка­нал и преобразованный дискретный канал. Система передачи дискрет­ных сообщений (СПДС), в свою очередь, может иметь несколько прямых и обратных каналов. Каждый из указанных каналов имеет свои пара­метры и характеристики, но при этом характеристики каждого канала более высокого уровня и СПДС в целом могут быть выражены через параметры канала нижнего уровня. При прохождении информационного сигнала по непрерывному ка­налу связи он подвергается воздействию многочисленных возмущающих факторов, изменяющих его параметры как случайным, так и регулярным образом. Искажения регулярно­го характера могут быть как линейными, так и нелинейными. Линей­ные искажения вызваны отклонениями амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик от заданных (нормативных) форм. Нелиней­ные искажения обусловлены нелинейностью характеристик усилительн­ых элементов и преобразователей. При моделировании систем пере­дачи дискретных сообщений регулярными нелинейными искажениями, как правило, пренебрегают, поскольку действующие нормы на собствен­ные нелинейности канала и на суммарную мощность группового сигнала практически исключают их из числа существенных факторов повыше­ния неопределенности сигнала. Воздействия случайного характера могут быть шумами и помехами. К шумам относятся принципиально неустранимые флуктуационные шумы усилительных и резистивных элементов, вызывающие нестабильность генераторов несущих частот, и радиояркостные характеристики неба. Помехи, наоборот, могут быть принципиально устранены, и чаще всего представляют собой импульсные и гармо­нические помехи, замирания и изменения остаточного затухания, вызывающие паразитную амплитудную модуляцию, скачки и дрожание фазы и т.д. В целом помехи и шумы приводят к случайным искажениям формы сигнала, изменению его масштаба (затуханию или усилению), времени задержки и определяют статистические характеристики непрерывного канала связи, которые иногда называются первичными. Первичные характеристики определяют краевые искажения (задержки фронтов) и дробления (распадание сигнала на отдельные фрагменты) на выходе канала. Краевые искажения и дробления  
описываются соответствующими законами распределения вероятностей, которые, в свою очередь, определяют вероятность ошибочного приема единичного элемента на выходе дискретного канала. Например, одна из методик расчета вероятности ошибки при краевых искажениях, регистрируемых методом стробирования и заданных нормальным законом, рассмотрена в [36]. Наиболее полной характеристикой качества дискретного канала является статистика ошибок, возникающих при передаче информации, которая в дискретном канале определяется вероятностью Р (т,п) ошибок заданной кратности m в блоке фиксированной длины n. Именно по этому параметру канала проводится выбор корректирующего кода, протоколов передачи и решаются другие задачи анализа и синтеза СПДС. В конечном счёте перечисленные выше параметры каналов определяют качество СПДС в целом. Решение задачи определения параметров СПДС непосредственно по характеристикам непрерывного канала связи является принципиально воз­можным. Известно множество моделей и методик для разных типов каналов, учитывающих те или иные внешние факторы [37, 38]. Однако необходимость учета большого числа воздействующих фак­торов, сложности их адекватного математического описания, многообра­зие технических решений, используемых на уровнях НКС-КПТ-ДК, при­водят к получению очень громоздких моделей, не всегда оправдываю­щих себя как по точности получаемых результатов, так и по затратам вычислительных ресурсов [34]. Приемлемым выходом в данной ситуации является непосредствен­ное получение характеристик дискретного канала по результатам стати­стических испытаний и дальнейшее их использование для анализа реше­ний, принимаемых при построении системы или в процессе ее функцио­нирования. Центральным моментом при таком подходе является выбор модели дискретного канала. Модель должна достаточно точно отра­жать статистику ошибок в канале, давать возможность быстрого опре­деления ее параметров по статистике и не требовать значительных вычислительных ресурсов для проведения дальнейших расчетов, что осо­бенно важно в адаптивных системах. Рассмотрим некоторые известные модели дискретных каналов.   Частные характеристики канала связи: ве­роятность успешной доставки сообщения заданной длины Р уд(К), затраты двоичных элементов на доставку сообщения Z (K), задержка Т 3, скорость передачи сообщений V   Требования к модели дискретного канала связи  
4.2. Модели потока ошибок в дискретных каналах [34]   Бинарный симметричный канал   Симметрия означает одинаковость ошибок приёма 0 или 1, а не равенство этих ошибок 0.5   Модели канала связи с памятью   Исторически первой моделью потока ошибок в дискретном кана­ле явилась биномиальная модель, характеризуемая одним параметром – вероятностью неверного приема одиночного (либо 0, либо 1) элемента. Модель предполагает независимость возникно-вения ошибок. Часто канал, представляемый такой моделью, называют двоичным симметричным каналом (ДСК) или бинарным симметричным каналом (БСК). В такой модели достаточно просто вычисляется вероятность одного заданного сочетания ошибок веса m и вероятность того, что среди п принятых символов имеется m ошибок в любом сочетании (рис. 4.3): ; (4.1) , (4.2) где .
  T F
T
F

 

Рис. 4.3. Граф и матрица переходов биномиальной модели

 

Установление при эксплуатации практически во всех реальных каналах факта группирования ошибок стимулировало создание большого числа моделей, учитывающих память канала. Изучение каналов с памятью, разработка корректирующих кодов для них и оценка их эффективности затрудняются тем, что для описа­ния такого рода каналов недостаточно знать один параметр (каким является вероятность ошибки). Для этого нужно уметь определять вероятности любых сочетаний ошибок в пределах блока любой длины п. С целью по­лучения таких данных прибегают к экспериментальному исследованию различных реальных каналов. Однако обобщение полученных экспериментальных результатов затрудняется тем, что не всегда удается подо­брать удобное аналитическое представление, тем более что различные каналы ведут себя по-разному. Поэтому исследователи пытаются по­строить такие математические модели дискретного канала с памятью, которые определяются лишь небольшим числом параметров,

  
соответствующий подбор которых позволяет хотя бы в общих чертах описать поведение реальных каналов. Простейшей моделью канала с памятью является марковская модель на основе простой цепи Маркова[37]. При этом вероятность того, что текущий элемент будет принят ошибочно, равна некоторой величине , если предыдущий элемент был принят верно, и некоторой другой величине , если предыдущий элемент был принят ошибочно (рис. 4.4). При марковская модель представляет нормальный канал с группированием ошибок, при – канал с рассредоточенны­ми ошибками. Безусловная (средняя) вероятность ошибки в таком канале определяется выражением . (4.3)
  T F
T
F

 

Рис. 4.4. Граф и матрица переходов марковской модели

 

При такой модели также несложно вычисляется вероятность любого сочетания ошибок и легко оценивается эффективность любого кода. Од­нако эта модель очень грубо воспроизводит свойства реальных каналов с группированием ошибок. Поэтому в настоящее время ею не пользуются.

Попытки описать канал цепью Маркова более высокого порядка (т.е. считать, что вероятность ошибочного приема элемента однозначно опре­деляется тем, как приняты предыдущие k элементов) в ряде случаев сопряжены со значительными вычислительными трудностями. При ма­лых k такая модель плохо согласуется с экспериментом, при больших k она неудобна для расчетов.

Более успешно используется модель Гилберта [39]. Соглас­но этой модели канал может находиться в двух состояниях: хорошем (G) и плохом (B). В состоянии G ошибок не происходит, в состоя­нии В ошибки возникают независимо с вероятностью . Чаще всего при использовании модели Гильберта для двоичного канала полагают

     Марковская модель канала с памятью     Модель Гилберта  
– одинаковая вероятность ошибки для нуля и единицы в состоянии B     Вывод формулы (4.7) приведён в [34]   . При состояние В рассматривается как пол­ный обрыв связи, тогда как в состоянии G помехи в канале отсутствуют. Это довольно хорошо согласуется с представлением о канале, в кото­ром действуют коммутационные помехи. Смены состояний канала характеризуются соответствующими переходными вероятностями и (рис. 4.5). Здесь – вероятность сохранения хорошего состояния, – вероятность сохранения плохого состояния. Таким образом, здесь простую цепь Маркова образует не последовательность ошибок, а последовательность состояний (модель имеет три параметра). Модель Гилберта позволяет учесть группирование ошибок, но не учитывает группирование пакетов ошибок, что в некоторых случаях мо­жет быть необходимо.
  G B
G
B

 

Рис. 4.5. Граф и матрица переходов модели Гилберта при

Финальные вероятности нахождения в хорошем и плохом состояниях определяются выражениями

, . (4.4)

Средняя вероятность ошибочного приёма одного элемента сообщения (кода) равна

, (4.5)

а средняя длина плохого и хорошего состояний канала ­–

, . (4.6)

Вероятность серии из нулей после 1 в любом из состояний равна

, (4.7)

где .

Коэффициент группирования ошибок .

Желание более точно описать статистику ошибок в реальных пакетах привело к появлению большого числа разнообразных моделей.

  
Одним из первых обобщений модели Гилберта на основе цепей Мар­кова является модель Эллиота-Гилберта [40]. От модели Гилберта она отличается лишь тем, что допускает ошибки в обоих состояниях. При этом она определяется четырьмя параметрами: двумя переходными и и двумя условными и вероятностями ошибок в соответствующих состоя­ниях (рис. 4.6). Модель Эллиота-Гилберта так же, как и модель Гилберта, не отражает группирование пакетов ошибок и реальный характер распре­деления их длин. Однако она позволяет считать пакеты и промежутки более длинными, чем по модели Гилберта. Поэтому предположение о независимости длин пакетов и промежутков для нее более оправданно, чем для модели Гилберта. Рис. 4.6. Граф модели Эллиота-Гилберта Модель Смита-Боуэна-Джойса [41] предполагает, что канал имеет три состояния. Последова­тельность состояний является простой цепью Маркова. Одно из состоя­ний «плохое» (B) – в нем возникают ошибки с вероятностью, близкой к 0.5 (оно соответствует пакетам ошибок). Два других состояния «хорошие» (G1 и G2), в них ошибки возможны, но имеют меньшие, не обязательно одинаковые вероятности. Переход из одного «хорошего» состояния в другое невозможен. Модель определяется семью параметрами: четырьмя переходными , , и и тремя условными , и вероятностями ошибок в соответствующих состоя­ниях (рис. 4.7). Рис. 4.7. Граф модели Смита-Боуэна-Джойса Модель Эллиота-Гилберта   Редкие ошибки в модели Гилберта должны рассматривать-ся как пакеты, а в модели Эллиота могут включаться в промежутки между пакетами     Модель Смита-Боуэна-Джойса     Одно из них соответствует промежуткам между пакетами, другое можно рассматривать как промежуток между группами пакетов    
Модель Петровича Модель Петровича, предложенная в [42], представляет последовательность «хороших» и «плохих» состояний двусвязной цепью Маркова. Двусвязная цепь Маркова с двумя состояния­ми и эквивалентна односвязной цепи с четырьмя состояниями и , из которых два «хорошие» и два «плохие». Из каждого состояния возможен переход лишь водно «хорошее» и в одно «плохое» (рис. 4.8). Модель Петровича содержит пять свободных параметров: четыре переходные вероятности , , и и одну вероятность ошибки , одинаковую для «плохих» состояний. Как и модель Гилберта, она не отражает группирование пакетов и предполагает почти такое же распределение длин пакетов, как и перечисленные ранее мо­дели, но более сложна.  
а б

Рис. 4.8. Двусвязный граф (а) модели Петровича и его односвязный аналог (б)

 

  
Модели Фричмана     Модель Мюллера   Модели Фричмана и Фричмана-Свободы [43] в отличие от ранее рассмотренных не предусматривают ограни­чений на число «хороших» и «плохих» состояний. В «хороших» состояниях по этой модели невозможны ошибки, а в «плохих» невозможен правильный при­ем. Последовательность состояний образует простую цепь Маркова. Мо­делью Фричмана-Свободы является частный случай модели Фричмана, подробно рассмотренный им в [43] и предложенный позднее Свободой [44]. В данной модели имеется лишь одно «плохое» состояние, а пере­ходы из «хороших» состояний вдругие «хорошие» невозможны. Общее число независимых параметров равно . Граф модели пред­ставлен на рис. 4.9. Модель Мюллера, предложенная в [45], также содержит «хороших» состояний, в которых ошибки не­возможны, и одно «плохое», в котором ошибки имеют вероятность, рав­ную единице, и последовательность этих состояний является простой цепью  
Рис.4.9. Граф модели Фричмана-Свободы   Маркова. От модели Фричмана-Свободы она отличается други­ми ограничениями на переходные вероятности. Ограничения показывают, что модель Мюллера определяется при равновероятном переходе от одного состояния к другому всего одним параметром – числом состояний , поскольку в этом случае (рис. 4.10). Рис. 4.10. Граф модели Мюллера Модель Беннета-Фройлиха [46] является более общей, но менее удобной для расчетов. Согласно этой модели ошибки возникают в виде более или менее продолжительных всплесков (пачек). Под пач­кой подразумевается последовательность элементов, в которой первый и последний приняты ошибочно, а между ними могут быть как пра­вильно, так и ошибочно принятые элементы. Предполагается, что пачки возникают независимо друг от друга с вероятностью . Помимо этой вероятности, канал характеризуется вероятностью ошибок вну­три пачки и распределением вероятностей длины (числа элемен­тов) пачки . Подбирая значения и , а также вид функции , в ряде случаев удается получить описание канала, согласующееся с экс­периментальными результатами. Вычисления вероятностей различных сочетаний ошибок и результат их исправления корректирующими кода­ми по модели Беннета-Фройлиха довольно сложны и обычно заменя­ются прямым моделированием на ЭВМ. Заметим, что понятие пачки ошибок не совпадает с понятием пло­хого состояния В в модели Гилберта. Состояние В, как и пачка, ха­рактеризуется ненулевой вероятностью ошибок, но в отличие от пачки не ставится условие, чтобы состояние В начиналось и заканчивалось ошибочно принятыми символами.     Модель Беннета-Фройлиха  
    Существует много других моделей дискретного канала, более глубокое рассмотрение таких моделей можно найти в [48]   Модель Беннета-Фройлиха более гибка, чем модель Гилберта, так как она допускает весьма свободный выбор функции , на которую наложено только обычное условие нормирования, тогда как в модели Гилберта распределение вероятностей длительности состояния В все­гда выражается формулой , т. е. однозначно определяется величиной . Тем не менее для многих эксперимен­тально исследованных каналов не удается удовлетворительно подобрать параметры модели Беннета-Фройлиха. В [47] была предложена еще бо­лее сложная модель дискретного канала, отличающаяся от модели Беннета-Фройлиха тем, что пачки ошибок не считаются независимыми. Согласно этой модели канал может находиться в двух состояниях, при­чем в первом состоянии ошибки не возникают, а во втором состоянии с определенной вероятностью возникают пачки ошибок. Параметрами являются вероятности переходов из одного состояния в другое: вероят­ность возникновения пачки во втором состоянии, вероятность ошибки внутри пачки (которая обычно равна 0.5) и распределение вероятностей длины пачки. В большинстве случаев удаётся этими параметрами до­статочно хорошо описать реальные каналы. Все рассмотренные выше модели дискретного канала с памятью являются в значительной мере формальными. При их построении не учитываются причины, вызывающие группирование ошибок, а попросту подбирается вероятностная схема, которая должна описывать наблю­даемые факты. Правда, для некоторых моделей (например, Беннета-Фройлиха) часто подводят «физическую базу», говоря о том, что источ­ником ошибок являются только коммутационные помехи или всплески импульсных помех, возникающие независимо друг от друга и поражающие более или менее длительный отре­зок сигнала. Но эти модели применяют, и довольно успешно, также к та­ким каналам, в которых заведомо существуют и другие виды помех. Помимо формальных математических моделей дискретных каналов, разрабатывались, так сказать, математические физические модели. В этих моделях дискретный канал рассматривается как отображение непрерывного канала, и распределе­ние ошибок выводится из вероятностных свойств сигнала и помехи в непрерывном
  канале. Такой подход реализован в приложении Communications System Toolbox, и далее на основе применяемых в этом приложении моделей будут рассмотрены вопросы рас­пределения ошибок в канале с флуктуационной помехой, когда сигнал подвержен релеевским или райсовским замираниям.   Анализируя изложенный выше материал, можно сказать, что простые с математической точки зрения модели (такие, как биноминальные или простая цепь Маркова) не отражают в должной мере характеристики реальных каналов. Более сложные модели, например модель [47], позволяют получить большую точность, однако их применение требует при моделировании больших затрат машинного времени и знания боль­шого числа параметров канала связи. Использование таких моделей не всегда окупается требуемой точностью вычислений параметров систем передачи. Попытаемся количественно оценить величину погрешностей оценки внешних параметров системы, обусловленных уменьшением числа со­стояний модели дискретного канала. Предположим, что некоторый дискретный канал с высокой степенью точности описывается марковской цепью с четырьмя состояниями. В качестве внешнего параметра системы выберем относительную скорость передачи или производительность. Вычислим для данного канала границы производительности. Далее аппроксимируем этот канал моделью с тремя состояниями, полученными путем объединения двух соседних состояний исходной модели в одно. Для полученной модели также вы­числим границы производительности. Проводя аналогичное агрегиро­вание состояний, перейдем к модели с двумя состояниями и также определим границы. Сравнивая границы производительности, полученные для всех моделей, оценим погрешности, обусловленные уменьшением числа состояний модели. Переход к дискретному каналу с тремя состояниями можно осуще­ствить путем объединения либо 1-го и 2-го, либо 2-го и 3-го, либо 3-го и 4-го состояний (рис. 4.11, а). Для определения границ производительности необходимо знать только финальные вероятности состояний и вероятности ошибок в них. Финальная вероятность агрегированного состояния будет складываться из финальных вероятностей входящих в него   4.3. Расчётная модель дискретного канала [34]   Особенно затруднительно использование таких моделей в ада­птивных системах, где необходимо быстро оценивать параметры канала и изменять параметры системы  
    состояний, а вероятность ошибки в агрегированном состоянии как средневзвешенная вероятность ошибки объединяемых состояний. Рис. 4.11. Трансформация марковской модели дискретного канала Аналогичным образом происходит переход к дискретному каналу, описываемому марковской цепью с двумя состояниями. Сравнение полученных результатов показало, что с уменьшени­ем числа состояний модели с четырех до трех относительная погреш­ность определения производительности идеальной системы не превы­сила 2,9 %, при переходе от трех состояний к двум – 4,8 %, а от четырех к двум – 6,1 %. Оценим получаемый при этом выигрыш в сложности моделей. Определим сложность системы как функцию от количества вершин и ребер описывающего ее графа , где – число ребер графа, – число вершин графа. Так, для канала с двумя состояниями граф модели всей системы передачи информации содержит 4 вершины и 12 ребер, для канала с тремя состояниями – 9 вершин и 33 ребра, аналогично для канала с четырьмя состояниями –16 вершин и 64 ребра.
  Таблица 4.1 Сложности марковских моделей
Число состояний дискретного канала Сложность модели канала Сложность модели системы  
 
       
       
       

Из табл. 4.1 видно, что переход от модели канала с четырьмя со­стояниями к трем снижает сложность модели канала примерно в 2 раза, а сложность модели системы – более чем в 3.4 раза. При переходе от четырех к двум состояниям сложность уменьшается соответственно в 5 и 20 раз. Пропорционально сложности уменьшается и время вычислений, что особенно важно при работе системы.

Для радиоканалов, систем беспроводной связи, как это следует из статей, опубликованных в зарубежных изданиях в последнее время [49,50], вполне приемлемую точность описания дискретного канала при приемлемых затратах машинного времени дают модели с двумя со­стояниями, такие как модели Гилберта и Гилберта-Эллиота.

На основе опубликованных в [49] значений вероятностей ошибок разной кратности для блоков длиной 64 и 256 битов, полученных экспериментально в радиока­нале системы беспроводного доступа DECT, была составлена его модель Гилберта. Рассчитанные с её помощью теоретические зависимости вероятностей -кратных ошибок и соответствующие экспериментальные зависимости представлены на рис. 4.12.

  
  Рис. 4.12. Аппроксимация моделью Гилберта экспериментальных зависимостей m -кратных ошибок в блоках длиной 64 (а) и 256 (б)
      4.4. Частота появления канальных ошибок   Этот интеграл вычисляется в MATLAB по функциям либо Ф(z) = =erf(z/sqrt(2))/2,либо Ф(z) = =normcdf(z,0,1) Данные для блока длиной 64 элемента удовлетворительно аппрок­симировались моделью при параметрах и (в обозначениях рис. 4.5), а при длине блока 256 – и . Вероятность ошибки в обоих случаях равнялась 0.5. Заметим, что кроме описания статистики ошибок в дискретном канале, модель Гилберта широко используется для описания процессов поражения бло­ков на уровне канала передачи данных [36]. Поэтому модель Гилберта можно рекомендовать в качестве основной теоретической модели дискретного канала для первоначального анализа систем передачи информации.   Численной оценкой качества работы приемника цифровых сигналов является функция BER (Bit Error Rate), которая определяет относительную величину ошибки восстановления цифрового информационного сообщения в условиях шумового радиоканала. Определим общее выражение для функции BER в условиях белого гауссова шума для случайной бинарной величины ,которая может принимать два различных значения [19]. (4.8) Вероятности каждого из этих событий одинаковы, поэтому полная вероятность ошибочного приема определяется суммой интегралов ошибок (4.8) при априорной вероятности каждого события 1/2: , (4.9) где – интеграл вероятностей. Величина порогового значения определяет априорную важность ошибочного решения. Если величина порога близка к ожидаемому значению , то правильное определение ожидаемого значения будет происходить с очень большой вероятностью. Но
  одновременно увеличится число ошибочных решений по ожидаемому значению , когда вместо правильного определения состояния случайной величины будет принято ошибочное решение . И, наоборот, если пороговое значение близко к ожидаемому значению ,то правильное определение ожидаемого значения будет происходить с большой вероятностью, но увеличится число ошибочных решений по ожидаемому параметру . При равной априорной важности обоих решений величина порога, очевидно, должна находиться посередине между ожидаемыми значениями, т. е. . Подставив эту величину в (4.9), получим окончательное выражение для функции ошибок BER определения значения случайной бинарной величины при гауссовом распределении вероятностей: , (4.10) где Е – энергия разностного сигнала, – спектральная плотность мощности шума. Типичный вид функции BER показан на рис. 4.13 (SNR = = Signal to Noise Ratio – отношение сигнал/шум). Функция BER равномерно уменьшается с увеличением аргумента, что означает уменьшение вероятности ошибочного решения с увеличением расстояния между ожидаемыми значениями и с уменьшением дисперсии распределения , т. е. с уменьшением средней мощности шума. Определим выражение для многозначной функции BER, когда случайная величина z может принимать более чем два ожидаемых значения. В этом случае на оси вероятных значений случайной величины z находятся не две, а М зависимостей вероятности случайной величины z для М ожидаемых значений . Ошибка определения значения случайной величины z, как и для бинарного сигнала, определяется «хвостами» гауссовых кривых распределения вероятностей в «чужих» областях. Частный случай для пяти ожидаемых значений с равными расстояниями между ними показан на рис. 4.14.   Бинарный канал     Формула (4.10) верна только для гауссовых каналов     Если ожидаемые значения случайной величины из множества {Z} распределены равномерно, то и пороговые значения из множества {z i } распределены равномерно на одинаковом расстоянии друг от друга и посередине между ожидаемыми значениями
               

 

а б

Рис. 4.13. Соотношения между ожидаемыми значениями и порогом при шуме N (0,1) (а)

и зависимость ошибки (функция BER) от отношения сигнал/шум (SNR) (б)
  Много-символьный канал Ограничимся анализом многозначной случайной величины z в приближении взаимного влияния только соседних распределений вероятностей. В этом случае для любого ожидаемого «внутреннего» значения случайной величины из множества { Z } (2, 3или 4на рис. 4.14, а) вероятность ошибочного определения истинного значения многозначной случайной величины z будет в 2 раза больше, чем в случае бинарной случайной величины, так как в области ожидаемых значений z находятся два «хвоста» от соседних распределений вероятности случайных величин. Для крайних значений из множества { Z }(1или 5на рис. 4.14, а) ошибка определения истинного значения многозначной случайной величины z будет совпадать с ошибкой определения бинарной случайной величины. Учитывая, что априорные вероятности принимаемых значений одинаковы и равны 1/ M, суммарная вероятность ошибочного определения случайной многозначной величины z (функция BER) зависит по аналогии с (4.10) только от разности соседних ожидаемых значений и дисперсии гауссова распределения: (4.11) Из формулы (4.11) следует, что вероятность ошибки идентификации случайной многозначной величины z с ожидаемым
значением из множества { Z } примерно в 2 раза выше, чем для бинарного случая при прочих равных условиях (расстоянии между ожидаемыми значениями и дисперсии распределения). При пересчёте к координате SNR это приводит к увеличению отношения сигнал/шум на 1.2375 раза (0.9253 дБ) для поддержания одинаковой вероятности ошибки BER. На рис. 4.14, б подобное различие условно показано в выноске (при M = 5 оно составляет 0.8361 раза).  
а б

Рис. 4.14. Распределения вероятностей (а) и функции BER (б)

многозначного случайного сигнала
Линейная интерполяция зависимостей вероятности ошибок от отношения сигнал/шум приводит к следующим простым соотношениям (справедливым при SNR > 2) (4.12) Формулы для функции ошибок определения истинного значения бинарной (4.10) или многомерной (4.11) случайной величины имеют достаточно общий характер, который определяется видом распределения вероятностей, предположением о равномерности распределения ожидаемых и пороговых значений случайной многоуровневой величины и предположением о взаимовлиянии только соседних распределений вероятностей. В конкретном случае анализа низкочастотных демодулированных сигналов случайной величиной, которая описывается гауссовым распределением вероятностей, является амплитуда принимаемого сигнала. Следовательно, под разностью ожидаемых значений Zi из   В данном случае гауссова
  Мощность шума на выходе устройства , где – его эффективная шумовая полоса   У такого фильтра   ансамбля { Z } в формулах (4.10), (4.11) следует понимать разность ожидаемых амплитуд сигналов, а под дисперсией следует понимать среднюю мощность гауссова шума. В результате достоверность принимаемой информации в белом гауссовом шуме (функция BER) определяется следующим выражением: , (4.13) где – мощность разностного сигнала; – средняя мощность шума. Под разностным сигналом здесь и далее понимается ожидаемый сигнал w, равный разности двух соседних ожидаемых сигналов и из множества . Мощность ожидаемого разностного сигнала определяется как квадрат разности амплитуд соседних сигналов из множества . Средняя мощность белого гауссова шума, который характеризуется постоянной спектральной плотностью мощности во всей полосе частот от минус до плюс бесконечности, очевидно, равна бесконечности, но ограничивается при прохождении любого реального устройства. В частности, средняя мощность шума на выходе коррелятора равна , средняя мощность шума на выходе фильтра с ограниченной частотной характеристикой равна произведению спектральной плотности мощности шума на интеграл от квадрата модуля частотной характеристики во всей области ее существования. Следовательно, функция BER для сигналов в белом гауссовом шуме может быть определена только на выходе линейного устройства или коррелятора, которые обеспечивают конечную величину средней мощности шума . Если воспользоваться общепринятым приближением ФНЧ, имеющего идеальную прямоугольную частотную характеристику с полосой пропускания и мало искажающего форму входного сигнала, то вероятность ошибки будет определяться формулой , (4.14)
где – ожидаемые значения сигналов на входе фильтра в фиксированный момент времени, – средняя мощность шума. Таким образом, вероятность достоверного приема бинарных цифровых сигналов при оптимальном детектировании в условиях аддитивного белого гауссова шума зависит от собственной и взаимной энергии принимаемых сигналов и спектральной плотности мощности шума (4.11), (4.13).   Пример 4.1. Расчёт частоты появления ошибок при использовании в канале с аддитивным гауссовым шумом (модель AWGN) прямоугольных сигналов Биполярный прямоугольный сигнал.Ожидаемый сигнал состоит из прямоугольных полярных импульсов: . Собственная энергия обоих импульсов , коэффициент взаимной корреляции , средняя энергия на 1 бит информации . Подставив эти величины в формулу (4.14), получим следующие выражения для достоверности приема полярного сигнала при использовании в детекторе согласованного фильтра () или фильтра нижних частот (): (4.15) Униполярный сигнал.Ожидаемый сигнал состоит из импульсов прямоуголь­ной формы . Энергия импульса с ненулевой амплитудой равна , взаимная энергия , средняя энергия на 1 бит информации . Подставив эти величины в формулу (4.14), получим . (4.16) На рис. 4.15 изображены осциллограммы непрерывного и дискретного вариантов биполярного и униполярного сигналов и функций ошибок BER (4.15) и (4.16) в зависимости от отношения сигнал/шум SNR, выраженном в разах и децибелах. Из графиков видно, что использование биполярного модулирующего сигнала позволяет примерно на 3 дБ (в 2 раза) уменьшить требуемое отношение сигнал/шум входного сигнала для получения одной и той же достоверности принимаемой информации по сравнению с униполярным сигналом. Выигрыш в достоверности приема при использовании биполярного сигнала уменьшается с уменьшением отношения сигнал/шум. Следует отметить, что увеличение достоверности приема полярного сигнала связано с увеличением расстояния между символами, т.е. с увеличением энергии разностного сигнала: для униполярного сигнала и для полярного сигнала. Если при тех же шумах реализован квазиоптималь-ный прием с использованием ФНЧ вместо согласованного фильтра, то достоверность принимаемой информации зависит от квадрата разности ожидаемых сигналов на выходе фильтра, полосы пропускания фильтра и спектральной плотности мощности шума   Если амплитуду униполярного сигнала увеличить в 2 раза, то достоверность приема этого сигнала будет точно такой же, как полярного сигнала с амплитудой
а SNR=linspace(1,10,300); bp=1-normcdf(sqrt(2*SNR),0,1); up=1-normcdf(sqrt(SNR),0,1); lbp=log10(bp); lup=log10(up); figure plot(SNR,lbp,SNR,lup) lSNR=10*log10(SNR); figure plot(lSNR,lbp,lSNR,lup) б
в г

Рис. 4.15. Униполярный и биполярный сигналы (а), скрипт-файл расчёта (б) функций BER в зависимости от SNR в разах (в) и децибелах (г)

 
4.5. Моделирование каналов в системе MATLAB   Непрерывные модели   Дискретные модели Моделирование системы коммуникации включает обязательное моделирование канала, основанное на его математическом описании. Очевидно, что различные каналы систем передачи информации имеют различные свойства и моделируются по-своему. Как показано выше (см. рис. 4.2), в моделировании модель канала включается либо непосредственно между передатчи-ком и приемником (линия связи), либо между кодером и декодером (канал передачи данных). Обязательным требованием является включение в модели коммуникационных каналов шумов, замираний, интерференций и другие видов искажений в передаваемые сигналы. Названные требования случаев учтены в моделях каналов, представленных набором специальных М-функций, собранных в пакете Communications Toolbox, и библиотекой блоков Communica-tions Blockset в приложении визуального моделирования Simulink.
И набор М-функций и библиотека блоков реализуют один и тот же набор моделей, поэтому большая часть последующего описания разработки моделей и их использования справедлива как для текстового, так и для визуального представлений каналов передачи сообщений. Например, библиотека блоков моделирования включает в себя несколько моделей канала для бинарных, вещественных и комплексных сигналов. В её состав входят разделы: – каналы с аддитивным белым гауссовским шумом (AWGN); – бинарные симметричные каналы (BSC); – каналы с релеевскими и райсовскими замираниями, которые моделируют реальные эффекты мобильной связи (fading channels). Подобные по характеристикам (и по названиям) М-функции входят в состав пакета Communications Toolbox (табл. 4.2). Рис. 4.16. Библиотека блоков моделирования каналов в Simulink   М-функции и блоки моделируют одинаковые объекты   Блоки AWGN и BSK – дискретные, блоки с замираниями – непрерывные
  Таблица 4.2 М-функции моделирования каналов
М-функция Описание действия
awgn Канал с аддитивным гауссовским шумом
bsc Модель бинарного симметричного канала
filter(channel) Пропускание сигнала через модель канала, представленную в виде объекта channel
rayleighchan Модель (объект) канала с релеевскими замираниями
ricianchan Модель (объект) канала с райсовскими замираниями
reset (channel) Сброс старых и установка новых свойств модели канала

 
4.5.1. Бинарный симметричный канал М-функция bsc В очередном прогоне получилось 109 ошибок Бинарный симметричный канал искажает двоичный сигнал, изменяя каждый передаваемый бит с заданной фиксированной вероятностью . Он полностью по свойствам и параметрам совпадает с биномиальной моделью, описанной в параграфе 4.2. Соответственно для него справедливы выражения (4.1) и (4.2), определяющие уровень ошибок при передаче бинарных последовательностей. Модель такого канала может быть полезна для того, чтобы проверить качество кодирования с контролем ошибок. Для моделирования бинарного симметричного канала используется функция bsc, имеющая два входных аргумента – двоичный сигнал s и вероятность p. Если необходимо моделировать бинарный канал, статистическое описание которого включает число ошибок на кодовое слово, то следует обратиться к функции randerr из раздела Random Bit Error Patterns. Пример 4.2. Моделирование бинарного симметричного канала в Simulink. Модель, показанная на рис. 4.13, содержит самые основные элементы системы коммуникации: источник сигнала (Bernulli Binary Generatorиз секции Comm Sources), канал с шумом (BSCиз секции Channels) и средствами обнаружения ошибок, вызванных шумом (Error Rate Calculationиз секции Comm Sinks). Строится она из блоков в следующем порядке: сначала выбираются блоки для моделирования шума в канале, затем устанавливаются параметры модели шума, потом блоки соединяются, и вся модель канала тестируется средствами приложения Simulink. В примере битовая последовательность содержит 10000 отсчётов 0 и 1 (их вероятность одинакова и равна 0.5). Ошибки при передаче через канал проявляются в смене 0 на 1 и наоборот. Вероятность появления ошибок , поэтому на 10000 отсчётов должно быть около 100 ошибок.
Рис. 4.17. Блок-схема моделирования бинарного симметричного канала  
  На рис. 4.17 видны только общие количественные результаты моделирования: 109 ошибок на 10000 битовых позиций. Для отображения более подробных проявлений случайного воздействия канала следует с помощью блоков осциллографов Scope и Scope1 передать данные в рабочее пространство (Workspace) и провести необходимую обработку. На рис. 4.18 приведены два синхронных фрагмента битовых последовательностей (на входе и выходе канала), наглядно показывающие появление ошибки – смену 0 на 1 в отсчёте с номером 1009.
     

 

Рис. 4.18. Результаты моделирования бинарного симметричного канала в Simulink

 


Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.011 сек.)