АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
|
Авторегрессионные модели временных рядов
Модели, которые наряду с текущими или лаговыми значениями факторных переменных, содержат лаговые значения зависимой переменной называются моделями авторегрессии, например, модель вида
.
Применение обычного МНК для оценки параметров уравнения авторегрессии приводит во многих случаях к получению смещенной оценки коэффициента при переменной .
Одним из альтернативных методов расчета параметров уравнения авторегрессии является метод инструментальных переменных. Поскольку в модели переменная зависит не только от , но и от , можно предположить, что имеет место линейная регрессия от , т. е.
.
Параметры этой регрессии допустимо найти МНК через Анализ данных/Регрессия. Рассчитанными по построенному уравнению значениями можно заменить исходные данные переменной . Затем проводят параметризацию уравнения
.
Отметим, что практическая реализация метода инструментальных переменных осложняется появлением проблемы мультиколлинеарности факторов в модели : функциональная связь между переменными и приводит к появлению высокой корреляционной связи между переменными и . В некоторых случаях эту проблему можно решить включением в модель фактора времени в качестве независимой переменной.
При оценке достоверности моделей авторегрессии необходимо учитывать специфику тестирования этих моделей на автокорреляцию остатков.
Для проверки гипотезы об автокорреляции остатков в моделях авторегрессии Дарбин предложил использовать другой критерий, который называется критерием –Дарбина. Его расчет производится по следующей формуле (расчет этого критерия возможен только в случаях, когда < 1):
,
где d – фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона для модели авторегрессии;
n – число наблюдений модели;
V – квадрат стандартной ошибки при лаговой результативной переменной (расчет возможен только при условии, что ).
Распределение величины h приблизительно можно аппроксимировать стандартизированным нормальным распределением. Поэтому для проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков можно либо сравнивать полученное фактическое значение критерия с табличным, воспользовавшись таблицами стандартизованного нормального распределения, либо действовать в соответствии со следующим правилом принятия решения.
1. Если >1,96, нулевая гипотеза об отсутствии положительной автокорреляции остатков отклоняется.
2. Если <-1,96, нулевая гипотеза об отсутствии отрицательной автокорреляции остатков отклоняется.
3. Если -1,96< <1,96, нет оснований отклонять нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.
Модель адаптивных ожиданий имеетвид
,
где – фактическое значение результативного признака;
– ожидаемое значение факторного признака.
Механизм формирования ожиданий в этой модели следующий:
, .
То есть, в каждый период времени ожидания корректируются на некоторую долю разности между фактическим значением факторного признака и его ожидаемым значением в предыдущий период. Параметр в этой модели называется коэффициентом ожиданий. Чем ближе коэффициент ожиданий к единице, тем в большей степени реализуются ожидания экономических агентов. И, наоборот, приближение величины к нулю свидетельствует об устойчивости существующих тенденций. При , получается, что , т.е. условия, доминирующие сегодня, сохранятся и на будущие периоды времени, то есть ожидаемые будущие значения показателей совпадут с их реальными значениями текущих периодов.
Модель адаптивных ожиданий может быть сведена к модели авторегрессии ,
которая называется краткосрочной функцией модели адаптивных ожиданий. Ее параметры можно найти методом инструментальной переменной. По коэффициенту при переменной определяют значение коэффициента ожидания , а затем параметры a и b.
Пример.
Имеются следующие данные
Месяц
| Объем продаж y, у.е.
| Расходы на рекламу x, у.е
| январь
| 19,3
| 296,4
| февраль
| 19,7
| 290,8
| март
| 20,25
| 289,4
| апрель
| 21,29
| 321,2
| май
| 22,18
| 343,3
| июнь
| 23,43
| 371,8
| июль
| 24,73
| 413,2
| август
| 26,22
| 438,1
| сентябрь
| 26,91
| 418,6
| октябрь
| 28,01
| 440,1
| ноябрь
| 28,77
| 461,3
| декабрь
| 28,75
| 429,7
| Необходимо:
1. Построить уравнение авторегрессии методом наименьших квадратов. Оценить его статистическую надежность и автокорреляцию в остатках.
2. Применить метод инструментальной переменной для параметризации уравнения авторегрессии. Оценить статистическую надежность и автокорреляцию в остатках.
3. Построить модель адаптивных ожиданий . Выполнить прогнозный расчет для ожидаемого значения .
1. Для построения авторегрессии методом наименьших квадратов используем данные
|
|
| 19,3
| 296,4
|
| 19,7
| 290,8
| 19,3
| 20,25
| 289,4
| 19,7
| 21,29
| 321,2
| 20,25
| 22,18
| 343,3
| 21,29
| 23,43
| 371,8
| 22,18
| 24,73
| 413,2
| 23,43
| 26,22
| 438,1
| 24,73
| 26,91
| 418,6
| 26,22
| 28,01
| 440,1
| 26,91
| 28,77
| 461,3
| 28,01
| 28,75
| 429,7
| 28,77
|
Протокол расчета в Анализ данных/Регрессия
ВЫВОД ИТОГОВ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Регрессионная статистика
|
|
|
|
| Множественный R
| 0,9990555
|
|
|
|
| R-квадрат
| 0,9981118
|
|
|
|
| Нормированный R-квадрат
| 0,9976398
|
|
|
|
| Стандартная ошибка
| 0,1649793
|
|
|
|
| Наблюдения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Дисперсионный анализ
|
|
|
|
|
| df
| SS
| MS
| F
| Значи
мость F
| Регрессия
|
| 115,1012729
| 57,55064
| 2114,42
| 1,27E-11
| Остаток
|
| 0,217745288
| 0,027218
|
|
| Итого
|
| 115,3190182
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Коэффициенты
| Стандартная ошибка
| t-статистика
| P-Значение
|
| a
| 1,6366001
| 0,367241275
| 4,456471
| 0,002121
|
| b0
| 0,017668
| 0,002234784
| 7,905903
| 4,75E-05
|
| c1
| 0,6814781
| 0,041018
| 16,61377
| 1,74E-07
|
|
|
|
|
|
|
| ВЫВОД ОСТАТКА
|
|
|
|
|
| Наблюдение
| Предсказанное Y
| Остатки
|
|
|
|
| 19,926977
| -0,226977303
|
| 0,051519
|
|
| 20,174833
| 0,075166653
| 0,091291
| 0,00565
|
|
| 21,111488
| 0,178511731
| 0,01068
| 0,031866
|
|
| 22,210688
| -0,030687968
| 0,043765
| 0,000942
|
|
| 23,320741
| 0,109258926
| 0,019585
| 0,011938
|
|
| 24,904043
| -0,174043315
| 0,08026
| 0,030291
|
|
| 26,229898
| -0,009897674
| 0,026944
| 9,8E-05
|
|
| 26,900774
| 0,009225758
| 0,000366
| 8,51E-05
|
|
| 27,750856
| 0,259144173
| 0,062459
| 0,067156
|
|
| 28,875043
| -0,105043021
| 0,132632
| 0,011034
|
|
| 28,834658
| -0,08465796
| 0,000416
| 0,007167
|
| Сумма
|
|
| 0,468398
| 0,217745
|
| d
| 0,46/0,21=2,15
|
|
|
|
| V
| (выделенная в протоколе стандартная ошибка)
0,04
|
|
|
|
| h
| -0,25
|
|
|
|
|
Добавляем в протокол расчет для проверки на автокорреляцию в остатках по критерию Дарбина. Поскольку -1,96< <1,96, считаем, что автокорреляции в остатках отсутствует. Показатели детерминации, статистической значимости в целом и по параметрам весьма удовлетворительные.
Получаем уравнение вида: .
2. Строим инструментальную (вспомогательную) переменную как линейную регрессию по выделенным исходным данным.
y
| x
| 19,3
| 296,4
| 19,7
| 290,8
| 20,25
| 289,4
| 21,29
| 321,2
| 22,18
| 343,3
| 23,43
| 371,8
| 24,73
| 413,2
| 26,22
| 438,1
| 26,91
| 418,6
| 28,01
| 440,1
| 28,77
| 461,3
| 28,75
| 429,7
| Получим уравнение .
Строим таблицу данных для построения регрессии .
y
| x
|
| 19,3
| 296,4
|
| 19,7
| 290,8
| 19,86948801
| 20,25
| 289,4
| 19,57046554
| 21,29
| 321,2
| 19,49570993
| 22,18
| 343,3
| 21,19373038
| 23,43
| 371,8
| 22,37380119
| 24,73
| 413,2
| 23,89561198
| 26,22
| 438,1
| 26,10624238
| 26,91
| 418,6
| 27,43582443
| 28,01
| 440,1
| 26,39458547
| 28,77
| 461,3
| 27,54261817
| 28,75
| 429,7
| 28,6746318
|
Протокол расчета:
ВЫВОД ИТОГОВ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Регрессионная статистика
|
|
|
|
| Множественный R
| 0,988023
|
|
|
|
| R-квадрат
| 0,97619
|
|
|
|
| Нормированный R-квадрат
| 0,970238
|
|
|
|
| Стандартная ошибка
| 0,585846
|
|
|
|
| Наблюдения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Дисперсионный анализ
|
|
|
|
|
| df
| SS
| MS
| F
| Значи
мость F
| Регрессия
|
| 112,5732973
| 56,28665
| 163,9982
| 3,21E-07
| Остаток
|
| 2,745720919
| 0,343215
|
|
| Итого
|
| 115,3190182
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Коэффициенты
| Стандартная ошибка
| t-статистика
| P-Значение
| Нижние 95%
| a
| 2,403288
| 1,277068931
| 1,881878
| 0,096626
| -0,54164
| b0
| 0,022185
| 0,008394889
| 2,642716
| 0,029588
| 0,002827
| c1
| 0,572218
| 0,15014977
| 3,81098
| 0,005155
| 0,225972
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ВЫВОД ОСТАТКА
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Наблюдение
| Предсказанное Y
| Остатки
|
|
|
|
| 20,22445
| -0,524447586
|
| 0,275045
|
|
| 20,02228
| 0,227717797
| 0,565753
| 0,051855
|
|
| 20,685
| 0,605001663
| 0,142343
| 0,366027
|
|
| 22,14693
| 0,033069064
| 0,327107
| 0,001094
|
|
| 23,45447
| -0,024469506
| 0,003311
| 0,000599
|
|
| 25,24375
| -0,513748148
| 0,239394
| 0,263937
|
|
| 27,06112
| -0,841124095
| 0,107175
| 0,70749
|
|
| 27,38932
| -0,479321119
| 0,130901
| 0,229749
|
|
| 27,27049
| 0,739510267
| 1,48555
| 0,546875
|
|
| 28,39774
| 0,372257187
| 0,134875
| 0,138575
|
|
| 28,34445
| 0,405554477
| 0,001109
| 0,164474
|
|
|
|
| 3,137517
| 2,745721
|
|
|
|
|
|
|
| d
| 1,142693
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| V
| 0,022545
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| h
| 1,639427
|
|
|
|
| Поскольку -1,96< <1,96, считаем, что автокорреляция в остатках отсутствует. Показатели детерминации, статистической значимости в целом и по параметрам весьма удовлетворительные.
Получаем уравнение вида: .
3. Построим модель адаптивных ожиданий, то есть зависимость фактическим значение результативного признака и ожидаемым значением факторного признака: .
Вспомогательная краткосрочная функция модели адаптивных ожиданий имеет вид . Это уравнение авторегрессии, которое построено в пунктах 1 или 2. Воспользуемся результатом . Тогда
| 2,403288
|
| 0,022185
|
| 0,572218
|
|
|
| 0,427782
| b
| 0,051861
| a
| 5,618017
|
Получаем модель адаптивных ожиданий: .
Выполним прогнозный расчет для ожидаемого значения . Тогда . Вывод: если на будущий месяц планировать расходы на рекламу в размере 460,1 у.е., объем продаж текущего месяца должен составить приблизительно 31,93 у.е.
Задания для самостоятельной работы. 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | Поиск по сайту:
|