С сезонными колебаниями

Модель временного ряда с сезонными колебаниями можно рассматривать в следующих возможных формах:

· – аддитивная модель;

· – мультипликативная модель,

где T – регулярная (основная) компонента, характеризующая общую тенденцию ряда (тренд),

S – сезонная компонента (внутригодичные колебания), в общем случае – циклическая составляющая,

E – случайная компонента (случайные отклонения).

Расчет сезонной составляющей.

Проверку на наличие или отсутствие сезонных колебаний можно провести визуально при построении графика или при анализе коррелограммы. Если наиболее высоким по сравнению с другими (кроме ) оказался коэффициент автокорреляции порядка k, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в k моментов времени.

Пример 1.

Провести анализ коррелограммы по следующим данным спроса на прохладительные напитки за последовательные 16 кварталов

Очевидно наличие циклических колебаний. С помощью функции Корелл находим коэффициенты автокорреляции. Максимальный лаг должен быть не больше n /4, в нашем случае – не больше 4. Результаты расчета приведены в таблице

0,138485	-0,49654	0,054228	0,985546

Наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции четвертого порядка, т.е. период колебаний равен 4.

Значения сезонной компоненты рассчитывают методом скользящей средней при построении аддитивной или мультипликативной модели.

Аддитивную модель применяют в том случае, если амплитуда сезонных колебаний со временем не меняется.

Если происходят существенные изменения амплитуды сезонных колебаний, то для моделирования временного ряда применяют мультипликативную модель .

Процесс построения модели проводят в следующей последовательности:

1. Расчет значений сезонной компоненты;

2. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной модели и в мультипликативной.

3. Подбор линии тренда. Расчет значений T по уравнению тренда.

4. Расчет полученных по модели значений или .

5. Расчет случайной компоненты (т.е. ошибок) или .

Если полученные значения не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Пример построения мультипликативной модели.

Имеются поквартальные данные по розничному товарообороту в России за 5 лет. Построить мультипликативную модель временного ряда.

По графику предполагаем наличие циклических колебаний. Рассчитаем период колебаний:

Вывод: из всех коэффициентов автокорреляции (кроме ) самое высокое значение (по модулю) – у . Моделируем сезонные колебания с периодом 5.

t	y	Скользящая средняяя за 5 кварталов (СС)	центрированная скользящая средняя (ЦСС)	Сезонная компо нента
	93,9
	96,5
	101,8	99,26	99,63	1,021780588
	107,8	99,62	99,44	1,084070796
	96,3	99,96	99,79	0,965026556
	95,7	100,4	100,18	0,955280495
	98,2	98,64	99,52	0,986736334
		99,14	98,89	1,051673577
		101,8	100,47	0,985368767
	98,8	104,78	103,29	0,956530158
		103,66	104,22	1,045864517
	113,1	103,32	103,49	1,092859213
	98,4	103,98	103,65	0,94934877
	97,3	101,7	102,84	0,946129911
	102,1	95,82	98,76	1,03381936
	97,6		94,41	1,033788794
	83,7	91,22	92,11	0,908696124
	84,3
	88,4
Сумма				15,01697396

Откорректируем сезонную компоненту, в мультипликативной модели суммарная сезонная компонента должна быть равна величине периода, т.е. 5. Разделим весь объем данных на группы кварталов с одинаковым номером в своем периоде.

Примечание. Корректирующий коэффициент равен средней арифметической всех средних сезонных компонент, вычисленных по группам.

Продолжим расчеты в таблице

Уравнение параболического тренда подобрано при построении графика по данным с удаленной сезонной компонентой в меню Диаграмма: .

Отношение суммы квадратов абсолютных ошибок к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего значения:

.

Построенная модель достоверна на 99,05%.

Вычислим прогнозное значение величины розничного товарооборота в России в третьем квартале года, следующего после окончания статистических наблюдений. Имеем , , . Тогда

.

Пример построения аддитивной модели.

Имеются следующие данные об экспорте РФ нефтепродуктов за 2002-2005 гг. по данным Федеральной таможенной службы России:

1) Применим методику скользящего выравнивания для дальнейшего создания аддитивной модели

Полученная модель динамики экспорта может быть использована с некоторыми ограничениями. С I по III квартал наблюдается повышение экспорта, а в конце года – снижение показателя, однако центрированная средняя показывает только тенденцию повышения.

2) Продолжим расчеты значений сезонной компоненты. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю. Тем не менее, по данной модели имеем . Рассчитаем корректирующий коэффициент и найдем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом.

Квартал	Год	Сезонная компонента S	Итого за квартал по годам	Средняя сезонная компонента за квартал	Корректирующий коэффициент	Скорректированная сезонная компонента
I		–	-2,9	-0,967	(-0,967+0,65+1,233-,867)/4=0,01225	-0,97925
	-0,4
	-0,8
	-1,7
II		–	1,95	0,65	0,63775
	0,4
	0,4
	1,15
III		1,45	3,7	1,233	1,22075
	0,75
	1,5
	–
IV		-1,45	-2,6	-0,867	-0,87925
	-1,2
	0,05
	–
Итого				0,049

3) Устраним сезонную компоненту из временного ряда, вычислим тренд и случайную составляющую

Уравнение тренда выясняется в Excel функцией Линейн (для линейного тренда) или, что более удобно:

Вставка/Диаграмма/График/Добавить линию тренда/Отобразить уравнение тренда на экран. Результат может выглядеть следующим образом

Таким образом, имеем линейный тренд

,

где .

3) По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели, а также для выбора наилучшей модели используют сумму квадратов абсолютных ошибок . Для данной модели она равна 9,82. Средний уровень ряда равен 360,7/16=22,5. Отношение суммы квадратов случайной компоненты к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего значения:

.

Вывод: построенная аддитивная модель объясняет 92,8% общей вариации экспорта нефтепродуктов за 16 кварталов исследуемых четырех лет и ее можно использовать в прогнозах.

Вычислим прогнозное значение объема экспорта во втором квартале 2006 года. Имеем , , . Тогда

.

Задания для самостоятельной работы

Необходимо:

1. Рассчитать период сезонных колебаний.

2. Построить мультипликативную модель временного ряда.

3. Построить аддитивную модель временного ряда.

4. По наиболее достоверной модели выполнить прогнозирование на три будущих периода.

Поиск по сайту: