АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
|
Контрольная работа № 1
В задачах 1-20 решить и исследовать заданную систему уравнений, пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку полученного решения.
1.
| 3x + 6y – z = - 7,
x + 2y + 3z = 1,
2x – 3y + 2z = 9.
| 8.
| 3x – y = 5,
-2x + y + z = 0,
2x – y + 4z = 15.
| 15.
| x + 9y + 2z = 18,
2x – y – 3z = -1,
x + 5y + z = 0.
| 2.
| 7x + 2y + z = 4,
3x – 5y + 3z = 1,
2x + y – z = 8.
| 9.
| 3x – y + z = 4,
2x – y – 7z = -17,
8x + 5y – z = 0.
| 16.
| 4x – y + z = 17,
x + 3y – 2z = 0,
2y – z = 2.
| 3.
| 3x + 2y + z = 5,
2x + 9y + z = 1,
5x + y + 3z = 11.
| 10.
| x + y + z = 2,
2x – y – 6z = -1,
3x – 2y = 8.
| 17.
| 2x + y + 4z = 20,
2x – y – 3z = 3,
3x + 4y – 5z = -8.
| 4.
| x + 2y + 4z = 30,
5x + y + 2z = 29,
3x – y + z = 19.
| 11.
| 2x + y – z = 1,
x + y + z = 6,
3x – y + z = 4.
| 18.
| x – y = 4,
2x + 3y + z = 1,
2x + y + 3z = 11.
| 5.
| x – 3y + 2z = 9,
2x + 5y – 3z = 4,
x + 6y – 2z = 14.
| 12.
| 2x – y – 3z = 3,
3x + 4y – 5z = 8,
2y + 7z = 17.
| 19.
| x + 5y – z = 7,
2x – y –2z = 14,
3x – 2y + 4z = 11.
| 6.
| 2x – y – z = 4,
3x + 4y – 2z = 11,
x – 2y + 4z = 12.
| 13.
| x + 5y + z = -7,
2x – y – z = 0,
x – 2y – z = 2.
| 20.
| 14x + 5y – z = 2,
2x + 5y – 5z = 15,
x + y + z = 2.
| 7.
| x + y + 2z = -1,
2x – y + 2z = -4,
7x + y + 4z = -3.
| 14.
| x – 4y + 5z = 16,
x + 3y – 4z = 8,
3x – 2y – 5z = 12.
|
|
|
Решение типового примера.
Решить систему уравнений с помощью определителей (по формулам Крамера).

Формула Крамера имеет вид: , где Δ 0 – определитель системы, состоящий из коэффициентов при неизвестных а Δх, Δу, Δz – побочные определители, составленные из определителя системы, заменой столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов.
Имеем, 



По формулам Крамера имеем . Подставляя найденные значения х=0, у=-2, z=1 в каждое уравнение системы убеждаемся в справедливости равенств.
Замечание. Вычисление определителей мы проводим разложением их по элементам первой строки:
, где определитель второго порядка вычисляется по формуле:
.
В задачах 21-40 даны координаты вершин треугольника АВС. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол В в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение медианы АЕ; 5) уравнение и длину высоты СD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой СD.
21.
| А (2; -2), В (-1; 3), С (5; 1).
| 31.
| А (2; 2), В (5; 6), С (6; 4).
| 22.
| А (0; -1), В (3; 5), С (2; 1).
| 32.
| А (4; -2), В (3; 2), С (0; 0).
| 23.
| А (3; -2), В (4; 2), С (5; 0).
| 33.
| А (0; 2), В (3; 6), С (4; 4).
| 24.
| А (2; -2), В (5; 2), С (6; 0).
| 34.
| А (4; 1), В (9; 5), С (8; 3).
| 25.
| А (0; 0), В (5; 4), С (4; 2).
| 35.
| А (6; 2), В (3; 6), С (7; 4).
| 26.
| А (0; 1), В (3; 5), С (4; 3).
| 36.
| А (-2; 1), В (1; 5), С (2; 3).
| 27.
| А (3; -2), В (0; 2), С (7; 0).
| 37.
| А (4; -3), В (7; 1), С (8; -1).
| 28.
| А (3; -3), В (6; 1), С (7; -1).
| 38.
| А (-2; 2), В (1; 0), С (2; 4).
| 29.
| А (-1; 1), В (2; -4), С (3; 1).
| 39.
| А (5; 0), В (4; 4), С (9; 2).
| 30.
| А (4; 1), В (0; 4), С (8; 2).
| 40.
| А (9; 3), В (5; 7), С (6; 7).
|
Решение типового примера.
Пусть А (-8;-3), В (4;-12), С (8;10).
1) Длину АВ найдем по формуле: , имеем
.
2) Уравнение сторон АВ и ВС найдем по формуле
.
Для стороны АВ имеем уравнение
или или .
Для нахождения углового коэффициента прямой представим ее уравнение в виде где k – угловой коэффициент (тангенс угла между прямой и осью Ох). Получим . Т.о. .
Для стороны ВС имеем уравнение или или или . Т.о. .
3) Внутренний угол при вершине В (из чертежа видно, что он острый) найдем по формуле: . Имеем, . Таким образом, .
4) Для нахождения уравнения медианы АЕ найдем координаты точки Е (середина отрезка ВС) .
Итак, Е (6;-1) и уравнением АЕ будет или или . Окончательно, уравнение АЕ имеет вид .
5) Для нахождения уравнения высоты СD найдем ее угловой коэффициент из условия перпендикулярности прямых АВ и СD. Имеем . Теперь используя формулу уравнения прямой, проходящей через заданную точку , составим уравнение высоты СD. или , или .
Длину высоты СD найдем по формуле - расстояние от точки С до прямой АВ. Имеем .
6) Прямая ЕМ, параллельная АВ имеет угловой коэффициент . Поэтому ее уравнение имеет вид: или . Найдем точку ее пересечения с высотой СD из системы уравнений . Решая систему уравнений, получим х=2, у=2. Таким образом, М (2;2).
В ЗАДАЧАХ 61-80 найдем указанные пределы
61. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
62. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
63. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
| 64. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
65. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
66. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
|
67. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
68. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
69. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
70. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
| 71. а) ;
б)
в) ;
г) .
72. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
73. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
74. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
|
67. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
68. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
69. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
70. а) ;
б) ;
в) ;
74. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
75. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
76. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
77. а) ;
б) ;
в) ;
| г) .
71. а) ;
б)
в) ;
г) .
72. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
73. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
г) .
78. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
79. а) ;
б) ;
в) ;
г)
80. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
|
Решение типового примера. Найти пределы
а) . При и числитель и знаменатель стремятся к нулю (неопределенность ). Для раскрытия неопределенности разложим многочлен и в числителе и знаменателе на линейные множители и сократим дробь. Получим,
.
б) . При числитель и знаменатель дроби стремятся к (неопределенность ). Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на х2 (х2 – самая высокая степень х). Получим,
.
в) . Для раскрытия неопределенности воспользуемся правом замены эквивалентных бесконечно малых сомножителей. В нашем случае ~3х, sin5x~5х. Поэтому, .
г) . Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель умножим на сопряженную величину . Получим,
.
д) . Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом: Имеем, . Делаем замену переменной . Тогда и при . Получаем, .
В задачах 81-100 найти производные , пользуясь правилами и формулами дифференцирования.
81.
| а) ,
| б) ,
|
| в) ,
| г) .
| 82.
| а) ,
| б) ,
|
| в) ,
| г) .
| 83.
| а) ,
| б) ,
|
| в) ,
| г) .
|
|
|
| 84.
| а) ,
| б) ,
| |
| в) ,
| г) .
| | 85.
| а) ,
| б) .
| |
| в) ,
| г) .
| | 86.
| а) ,
| б) ,
| |
| в) ,
| г) .
| | 87.
| а) ,
| б) ,
| |
| в) ,
| г) .
| | 88.
| а) ,
| б) ,
| |
| в) ,
| г) .
| | 89.
| а) ,
| б) ,
| |
| в) ,
| г) .
| | 90.
| а) ,
| б) .
| |
| в) ,
| г) .
| | 91.
| а) ,
| б) ,
| |
| в) ,
| г) .
| | 92.
| а) ,
| б) .
| |
| в) ,
| г) .
| | 93.
| а) ,
| б) ,
| |
| в) ,
| г) .
| | 94.
| а) ,
| б) .
| |
| в) ,
| г) .
| | 95.
| а) ,
| б) ,
| |
| в) ,
| г) .
| | 96.
| а) ,
| б) .
| |
| в) ,
| г) .
| | 97.
| а) ,
| б) ,
| |
| в) ,
| г) .
| | 98.
| а) ,
| б) .
| |
| в) ,
| г) .
| | 99.
| а) ,
| б) ,
| |
| в) ,
| г) .
| | 100.
| а) ,
| б) .
| |
| в) ,
| г) .
| | | | | | | |
Для нахождения производных надо использовать таблицу производных от основных элементарных функций: ,
а также пользоваться арифметическими свойствами производной (производная от сумы, разности, произведения и частного) и правилом дифференцирования сложной функции 
. Например, найти производную функции . Данная функция является сложной и имеет вид: . Поэтому, 
При вычислении производной мы пользовались формулами:
.
В ЗАДАЧАХ 101-120 исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики. Исследование функций и построение графиков рекомендуется проводить по следующей схеме:
1) найти область определения функции D (y);
2) исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва;
3) найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности;
4) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика;
5) найти асимптоты графика функции;
6) построить график, используя результаты предыдущих исследований;
101.
| .
| 111.
|
|
|
|
| .
| 102.
|
| 112.
|
|
| .
|
| .
| 103.
|
| 113.
|
|
| .
|
| .
| 104.
|
|
|
| |
| .
|
| .
| | 105.
|
| 115.
|
| |
| .
|
| .
| | 106.
|
| 116.
|
| |
| .
|
| .
| | 107.
|
| 117.
|
| |
| .
|
| .
| | 108.
|
| 118.
|
| |
| .
|
| .
| | 109.
|
| 119.
|
| |
| .
|
| .
| | 110.
|
| 120.
|
| |
| .
|
| .
| | | | | | | |
Решение типового примера.
Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить ее график.
1) Область определения функции – те значения х, при которых знаменатель отличен от нуля, т.е. .
2) Функция имеет разрыв второго рода в точке . При этом ; . Поэтому прямая является вертикальной асимптотой функции.
3) Для нахождения интервалов монотонности и точек экстремума найдем производную и точки, в которых она равна нулю или не существует (критические точки). . Производная равна нулю, если , т.е. . Таким образом, точки разбивают область определения на четыре интервала: . Для определения характера монотонности на полученных интервалах, найдем знак производной из приведенной схемы видим, что .
4) Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем производную второго порядка и точки, где она равна нулю или не существует (критические точки второго рода). Имеем, Так как существует в каждой точке области определения и не обращается в нуль, то точек перегиба нет. На интервале и функция выпукла, на интервале и функция вогнута.
5) В п.1 мы нашли вертикальную асимптоту . Найдем теперь не вертикальные асимптоты , где . Имеем, . . Невертикальной будет асимптота .
6) По данным исследования построим график функции
1 | 2 | 3 | Поиск по сайту:
|