Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)
1. Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [ a, b ], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f '(x) ≥ 0.
2. Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [ a, b ], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке, f ' (x) ≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на[ a, b ].
Доказательство.
1. Докажем первую часть теоремы. Итак, пусть функция y=f(x) возрастает на [ a, b ]. Зафиксируем на этом отрезке произвольную точку x, придадим ей приращение Δ x. Тогда если Δ x >0, то x<x+ Δ x. Поэтому по определению возрастающей функции f(x)<f(x+ Δ x), то есть f(x+ Δ x) - f(x)> 0. Но тогда и Аналогично, если Δ x< 0, то x>x+ Δ x и значит f(x+ Δ x)-f(x)< 0, а
Переходя в этом равенстве к пределу при Δ x →0, получим , то есть f '(x) ≥0.
2. Докажем вторую часть теоремы. Пусть f '(x)> 0при всех x Î (a,b). Рассмотрим два любых значения x 1 и x 2 таких, что x 1 < x 2. Нужно доказать, что f(x 1 )< f(x 2 ). По теореме Лагранжа существует такое число c Î (x 1, x 2 ), что . По условию f '(x)> 0, x 1 – x 2>0Þ , а это и значит, что f(x) – возрастающая функция.
Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.
24. 1 | 2 | 3 | Поиск по сайту:
|