Тема: Зарождение основных геометрических понятий. «Начала Евклида»

Лекция № 7

1.1. Зарождение основных геометрических понятий.

1.2. Аксиоматическое построение математики в период эллинизма.

1.3. «Начала Евклида».

1.4. Геометрические построения и преобразования.

1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ ОСНОВНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ.

Известно, что «Начала» Евклида служили на протяжении более 2000 лет образцом строго дедуктивного изложения геометрии. Однако в XIX в. после открытия геометрии Лобачевского - Бойя, а затем геометрии Римана и в связи с пересмотром и перестройкой основ математического анализа, предпринятого Больцано, Коши, Абелем, Гауссом и другими учеными, логическое построение «На­чал» Евклида стало подвергаться критике. В системе построения было обнаружено много логических недостатков, часть которых была замечена еще в древности. Это касается в первую очередь основных понятий геометрии и евклидовых определений.

Определение нового понятия состоит в раскрытии его содержа­ния, в перечислении его существенных признаков (свойств) с по­мощью других ранее определенных понятий, которые в свою оче­редь были еще ранее определены с помощью других понятий и т. д. В конце концов мы должны дойти до некоторых, обычно самых про­стых и немногих понятий, которые, являясь исходными, уже логи­чески прямо не определяются, а принимают за основные понятия. Без выделения основных понятий операция логического опреде­ления всех других понятий вообще была бы бессмысленной.

Определения, изложенные в «Началах» Евклида, не удовлет­воряют требованиям современной науки. Вот некоторые из 23 оп­ределений, которыми начинается 1 книга «Начал»:

I. Точка есть то, что не имеет частей (такое атомистическое определение точки, по-видимому, заимствовано Евклидом у пред­шественников и восходит к Демокриту).

II. Линия есть длина без ширины.

III. Границы линии суть точки.

IV. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

V. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

VI. Границы поверхности суть линии.

VII. Плоскость есть поверхность, которая одинаково располо­жена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим.

VIII. Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречаю­щихся линий, расположенных в одной плоскости.

Такие определения нельзя считать логически корректными. Во-первых, в этих определениях употребляются такие понятия (часть, длина, ширина, граница и др.), которые сами должны быть опреде­лены. Во-вторых, идея основных понятий (в современном смысле) у Евклида вообще отсутствует. В-третьих, некоторые его определе­ния туманны и непонятны, например IV и VII. Вообще же опре­деления Евклида являются лишь описаниями геометрических образов, и, как правило, для доказательства теорем он ими не пользовался.

При дедуктивном построении геометрии, как и любой другой науки, следует исходить не только из основных неопределяемых понятий, но также из некоторых немногих и простых утверждений, т. е. недоказуемых предложений, называемых иногда постулатами (требованиями), чаще же аксиомами, с тем, чтобы, основываясь на них, можно было строго логически обо­сновать, т. е. доказать все другие предложения, называемые уже теоремами.

1.2.АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИКИ В ПЕРИОД ЭЛЛИНИЗМА.

Первые математические теории, абстрагированные из конкретных задач или из совокупностей однотипных задач, создали необходимые и достаточные предпосылки для осознания самостоятельности и своеобразия математики. Это в свою очередь возбудило у античных математиков стремление систематизировать факты математики и логически последовательно изложить ее основы. Подобная работа - необходимый закономерный акт любой науки, служащий отправным пунктом для ее дальнейшего развития. В античной математике процесс систематизации и обобщения дал значительные результаты к IV в. до н. э. Этот процесс по существу являлся частью аналогичного процесса, происходившего во всей системе естественнонаучных знаний и нашедшего яркое выражение в философских взглядах Аристотеля (384-322 гг. до н. э.). Огромное влияние на математику того времени оказали и успехи логики. Сложившиеся основные формы мышления уже были систематизированы и исследованы, были выдвинуты принципы построения дедуктивной науки. Последняя стала рассматриваться как логическая усложняющаяся система, покоящаяся на первых началах- аксиомах. Абстрактность предмета математики и установившиеся приемы математического доказательства были основными причинами того, что математика стала излагаться как дедуктивная наука, представляющая логическую последовательность теорем и задач на построение и использующая минимум исходных положений.

Геометрическая форма системы математики в античной Греции ведет свое происхождение в основном от установления факта большей полноты множества отрезков по сравнению с множеством рациональных чисел. Сочинения, в которых в то время излагались первые системы математики, назывались "Началами". Первые "Начала", о которых дошли до нас сведения, были написаны Гиппократом Хиосским. Встречаются упоминания и о "Началах", принадлежащих другим авторам. Однако все эти сочинения забыты и утеряны практически с тех пор, как появились "Начала" Евклида, Последние получили всеобщее признание как система математических знаний, логическая, строгость которой оставалась непревзойденной в течение свыше двадцати веков. Все это время люди изучали геометрию по Евклиду. Его "Начала" до сих пор лежат в основе, всех систематических школьных курсов геометрии. Научные исследования по математике, в особенности элементарной, в очень большой степени опираются на систему Евклида, иногда подражая даже форме его изложения.,

Об авторе "Начал" Евклиде сохранилось очень мало сведений. Известно, что он жил в Александрии, входившей в то время в состав египетского царства, '"Последнее образовалось в результате распада мировой державы Александра Македонского. Выгодное положение Александрии как торгового центра и центра технических усовершенствований побудило правителей Египта Птолемеев к организации научно-учебного центра - Музейона (что означает прибежище муз). В Музейоне было собрано свыше 500 тысяч рукописей научного характера. Научную работу в Музейоне. на условиях государственного обеспечения постоянно или временно вели почти все крупнейшие ученые эллинистической эпохи, в том числе Евклид, Архимед, Аполлоний, Эратосфен и др. Благоприятное влияние Музейона на развитие науки сохранялось около 700 лет. Оно стало падать в начале нашей эры в результате завоевательных войн римлян, а затем прекратилось, когда под влиянием реакционного христианства "языческие" ученые были изгнаны или убиты, а сам Музейон разорен.

При написании "Начал" Евклид, по-видимому, не руководствовался целью составить энциклопедию математических знаний своего времени. Он, вероятно, стремился

изложить только основы математики в виде логически совершенной математической теории, исходящей из минимума исходных положений. В этом смысле "Начала" являются ранним предшественником современного способа аксиоматического построения математических наук. "Начала" состоят из тринадцати книг, каждая из которых состоит из

последовательности теорем. Иногда к этим книгам добавляют книги 14 и 15, принадлежащие другим авторам и близкие по содержанию к последним книгам Евклида. Первой книге предпосланы определения, аксиомы и постулаты. Определения имеются и в некоторых других книгах (2-7, 10, 11). Аксиом и постулатов в других книгах "Начал" нет. Определения - это предложения, с помощью которых автор вводит математические понятия, поясняя - их. Например, "точка есть то, что не имеет частей", "куб есть телесная фигура, заключающаяся между шестью равными квадратами", и т. п. Эти предложения Евклида в ходе истории много раз подвергались критике, с точки зрения их полноты и логической определенности. Однако равноценной или более совершенной системы определений предложено не было. Дело свелось к тому, что в наше время, при аксиоматическом построении математической теории единственным способом описания объектов этой теории и их свойств является сама система аксиом, а объекты вводятся как первичные неразъясняемые сущности. Что же касается определений. Евклида, то их следует рассматривать как исторически сложившиеся к его времени абстракции реальных вещей, введение которых в математику освящено традицией. Это - не такой уж редкий, если не сказать наиболее часто встречающийся в истории, способ введения математических определений.

Аксиомы, или общие понятия, у Евклида - это предложения, вводящие отношения равенства или неравенства величин. Аксиом в "Началах" пять:

1. Равные одному и тому же, равны и между собой.

2. Если к равным, прибавляются равные, то и целые будут равны.

3. Если от равных отнять равные, то и остатки будут равны.

4. Совмещающиеся друг с другом равны между собой.

5. Целое больше части.

В число исходных положений "Начал" входят постулаты, т. е" утверждения о возможности геометрических построений. С их помощью Евклид обосновывает все геометрические построения и алгоритмические операции. Постулатов тоже пять:

1. Через две точки можно провести прямую.

2. Отрезок прямой можно продолжить неограниченно.

3. Из всякого центра любым расстоянием можно описать окружность.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то прямые пересекутся с той стороны, где это имеет место.

В различных изданиях "Начал", а ранее того переписчиками и комментаторами, система аксиом и постулатов Евклида видоизменялась и дополнялась, причем чаще всего неудачно. Разумеется, критика постепенно вскрывала логические пробелы системы исходных положений Евклида: логическую перегруженность определений, необеспеченность возможности наложения фигур, отсутствие критериев пересечений окружностей и прямых (теорем существования) и другие более мелкие недостатки. Однако первые реальные успехи в создании системы аксиом геометрии, более соответствующей возрастающим требованиям математической строгости, были достигнуты только к концу XIX в. в работах Паша (1882), Пеано (1889) и Пиери (1899). Наиболее распространенная в настоящее время и общепризнанная система аксиом Д. Гильберта в первой редакции появилась в 1899 г. в сочинении "Основания геометрии". Позднее Гильберт внес в свою систему немало дополнений и усовершенствований. В наше время она состоит из следующих пяти групп аксиом:

а) восемь аксиом соединения или принадлежности;

б) четыре аксиомы порядка;

в) пять аксиом конгруэнтности или движения;

г) аксиома параллельности;

д) две аксиомы непрерывности: Архимеда и линейной полноты.

Эти пять групп аксиом вводят основные объекты геометрии: точку, прямую и плоскость, и отношения между объектами, выражаемыми словами: принадлежит, между и конгруэнтен. Определений и постулатов система современных основных положений не имеет.

Широко пользуясь идеей изоморфизма, аксиоматическая геометрия отвлекается от качественных особенностей изучаемых объектов и исследует лишь возможные виды логических связей между ними. При этом словами точка, прямая, плоскость могут быть названы объекты, не только непохожие на то, что они обозначали в течение всей истории, но и объекты совсем негеометрической, казалось бы, природы. "Начала" Евклида далеки от такой постановки задач геометрии. В них рассматриваются более низкие, первые, ступени абстракции пространственных и количественных свойств предметов материального мира.

1.3. «НАЧАЛА ЕВКЛИДА».

Перейдем к обзору содержания евклидовых "Начал". Первые шесть книг - планиметрические, из них книги 1-4 содержат ту часть планиметрии, которая не требует применения теории пропорций. Первая книга вводит основные построения, действия над отрезками и углами, свойства треугольников, прямоугольников и параллелограммов, сравнение площадей этих фигур. Завершают первую книгу теорема Пифагора и обратная ей теорема.

Некоторые характерные особенности метода математического суждения и формы

изложения Евклида видны уже из первой книги:

а) Метод рассуждений Евклида всегда синтетический. Для доказательства какой-либо теоремы он исходит из заведомо справедливого утверждения, в конечном счете опирающегося на систему основных положений. Из этого последнего он развивает последовательность следствий, приводящих к искомому утверждению. Обратный путь

рассуждений: приняв искомую теорему за доказанную, вывести из нее последовательность следствий, вплоть до того как будет получено заведомо верное утверждение - в "Началах" в качестве доказательств не употребляется. В противоположность синтезу древние называли этот метод анализом.

б) Доказательства строятся по единой схеме, состоящей из следующих частей: формулировка задачи, или теоремы (предложение); введение чертежа для формулировки данных задачи (изложение); формулировка, по чертежу искомого (определение); введение вспомогательных линий (построение); доказательство в собственном смысле - доказательство); объявление того, что доказано и что доказанное решает задачу или адекватно поставленной теореме (заключение). В несколько упрощенной форме эта схема стала традиционной и дошла до наших дней как классический образец математического рассуждения, в известном, смысле обязательный для математиков.

в) Средства геометрического построения - циркуль и линейка - принципиально не употребляются как средства измерения. Линейка не имеет мерных делений. Поэтому в "Началах" не идет речь об измерении длин отрезков, площадей фигур и объемов тел, а лишь об их отношениях.

Во второй книге рассматриваются соотношения между площадями прямоугольников и квадратов, подобранные таким образом, что они образуют геометрический аппарат для интерпретации алгебраических тождеств и для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям, т. е. геометрическая: алгебра.

Третья книга трактует свойства круга и окружности, хорд и касательных, центральных и вписанных углов.

Четвертая, книга посвящена свойствам: правильных многоугольников: вписанных и описанных, а также, построению правильных 3-, 4-, 5-, 6- и 15-угольников.

В пятой книге "Начал" развивается общая теория отношений величин, являющаяся прообразом теории действительного числа в форме, соответствующей дедекиндовым сечениям. Упоминалось об этой теории как о теории Евдокса, введенной в античную математику в качестве общей теории, равно пригодной как для чисел, так и для отрезков прямой.

Геометрические приложения теории отношений включены в шестую книгу. В ней, например, доказаны теоремы об отношении площадей прямоугольников и параллелограммов, имеющих общую высоту, о пропорциональности отрезков, отсекаемых на сторонах угла парой параллельных прямых, о подобии фигур и отношении площадей подобных фигур т. п. Здесь же находится группа теорем об эллиптическом и гиперболическом приложении площадей, обобщенном на параллелограммы.

Следующая группа книг (книги 7-9) содержит некоторый эквивалент теории рациональных чисел. Казалось бы, в этих книгах следовало излагать систему пространственных представлений - стереометрию. Однако непоследовательность только кажущаяся. Дело в том, что в конце "Начал" Евклид исследует правильные многогранники и определяет отношения их ребер к диаметру описанного шара. Эти отношения выражаются, как известно, квадратичными и биквадратичными иррациональностями. Поэтому Евклиду пришлось предварительно рассмотреть построение и классификацию подобных иррациональностей. Чтобы выполнить эту задачу, он опирался на ряд предложений из теории рациональных чисел (соизмеримых отрезков). Рациональные числа в свою очередь, Евклид представляет как отношения целых чисел; последние он понимает как собрание единиц. Поэтому так называемые арифметические книги "Начал" (книга 7-9) содержат учение о целых числах и их отношениях, взятое в основном из пифагорейской математики. Сохранение принципиально различного смысла понятий числа и общей величины послужило причиной повторения в арифметических книгах многих фактов теории чисел, уже полученных в пятой книге "Начал". Первая из арифметических книг - седьмая - начинается с изложения алгоритма попеременного вычитания. Затем следует ряд предложений теории делимости. Наконец, книга содержит теорию пропорций для рациональных чисел. Последняя продолжается в восьмой книге, где рассматриваются непрерывные числовые пропорции, и заканчивается в девятой книге. В этой теории по существу вводятся геометрические целочисленные прогрессии, показывается, что отношение членов непрерывной пропорции является древней формой степеней чисел, находится среднее пропорциональное, дается способ отыскания суммы геометрической прогрессии. Значительную часть девятой книги составляет учение о простых числах, причем доказывается, что простых чисел бесконечно много. Доказательство проводится тем же способом, что и сейчас: предположение конечности числа простых чисел опровергается построением еще одного числа, на единицу превышающего произведение всех простых чисел. В ряде теорем рассматриваются свойства четности и нечетности чисел.

Десятая книга "Начал" интересна в первую очередь громоздкой и сложной классификацией всех 25 возможных видов биквадратичных иррациональностей. В десятой книге в качестве лемм выведены различные, сами по себе важные, предложения. Прежде всего, это основная лемма метода исчерпывания о том, что если от данной величины отнять часть, большую ее половины, с остатком повторить то же и т. д., то при достаточно большом числе шагов можно получить величину, меньшую любой заданной. Кроме того, в десятой книге даны способ нахождения неограниченного числа "пифагоровых троек" целых чисел, критерий соизмеримости двух величин, основанный на алгоритме попеременного вычитания, отыскание общей наибольшей меры двух и трех рациональных чисел (соизмеримых величин) и др.

Последние три книги (11 -13) "Начал" - стереометрические. Первая из них открывается большим числом определений, что вполне естественно, так как в предыдущих книгах вопросы стереометрии не рассматривались. Затем следует ряд теорем о взаимных расположениях прямых и плоскостей в пространстве и теоремы о многогранных углах. Последнюю треть книги составляет рассмотрение отношений объемов параллелепипедов и призм. Исследование объемов других элементарных тел (пирамид, цилиндров, конусов и шаров) требует обязательного выполнения предельного по существу перехода.

В двенадцатой книге "Начал" отношения объемов всех этих тел найдены с помощью метода, получившего впоследствии (в XVII в.) название метода исчерпывания. Идея этого метода, представляющего своеобразную античную форму метода пределов, состоит в следующем: Евклид устанавливает, что подобные правильные

многоугольники, вписанные в круги, относятся как квадраты диаметров. Затем круги "исчерпываются" последовательностями правильных вписанных 2n-угольников (n = 2, 3, 4,...). Отношения последних при увеличении числа сторон остаются неизменными. После неявного перехода к пределу доказывается методом от противного, что и площади кругов относятся как квадраты их диаметров. Аналогичные суждения предельного характера проводятся во всех случаях отыскания отношений упомянутых выше тел.

Последняя, тринадцатая книга "Начал" содержит построение пяти правильных многогранников: тетраэдра (4-гранника), гексаэдра (6-гранника), октаэдра (8-гранника), додекаэдра (12-гранника), икосаэдра (20-гранника); там же находятся отношения объемов шаров. В заключение доказывается, что других правильных многогранников не существует.

Обзор содержания "Начал" показывает, что это сочинение представляет собой систему основ античной математики. В нее входят: элементарная геометрия, основы теории рациональных чисел, общая теория отношений величин и опирающиеся на нее теория пропорций и теория квадратичных и биквадратичных иррациональностей, элементы алгебры в геометрической форме и метод исчерпывания. Самое характерное в "Началах" то, что дана система, позволяющая видеть в них античного предшественника современного аксиоматического построения математических теорий. В то же время логическая структура "Начал" отражает исторический путь формирования математических теорий от простейших, типа геометрической алгебры, до более сложных: теории отношений, метода исчерпывания, классификации иррациональностей.

Мы уже упоминали, что "Начала" Евклида оставили неизгладимый след в истории математики и в течение многих веков служили классическим образцом математической строгости и последовательности. Однако некоторые особенности "Начал" отражают ряд неблагоприятных для дальнейшего развития математики условий, сложившихся ко времени их написания. Изложение - геометрическое, даже числа представлены как отрезки. Средства геометрического построения по существу ограничены только циркулем и линейкой. Поэтому в "Началах" нет теории конических сечений, алгебраических и трансцендентных кривых. Наконец, в "Началах" совершенно отсутствуют вычислительные методы. Все эти недостатки "Начал" можно было бы до известной степени оправдать специфическими целями составителя. Однако в условиях античности этот первый опыт аксиоматического изложения математики мог иметь столь резко выраженные ограничительные тенденции только под влиянием общих ограничительных тенденций идеалистической философии. Поэтому можно сказать, что "Начала" Евклида отражают как высокий уровень теоретического развития математики, так и неблагоприятную для ее дальнейшего развития общественно-экономическую и идеологическую обстановку конца Греческой античности.

В течение всей многовековой истории математики "Начала" являются фундаментом всех геометрических изысканий. Даже решающее изменение всей системы геометрии, вызванное введением в начале XIX в. в работах Н. И. Лобачевского неевклидовой геометрии, в значительной степени связано с попытками усовершенствования "Начал". "Начала" Евклида до нашего времени составляют основу школьных учебников геометрии, число их изданий огромно. Неоднократно они были изданы в России. Первое издание "Начал" на русском языке появилось в 1739 г. Последнее издание вышло в трех томах в течение 1948-1950 гг. Оно обстоятельно комментировано. Знакомство с "Началами" Евклида полезно всякому математику и в наши дни.

1.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

Ещё вглубокой древности человек чертил ирисовал на скалах, камнях, стенах и предметах домашнего обихода изображения ве­щей, деревьев, животных и людей. Он делал это для удовлетворе­ния своих потребностей, в том числе и эстетических. Приэтом ос­новное требование к таким изображениям заключалось в том, чтобы изображение вызывало правильное зрительное представление о форме изображаемого предмета.

Римский архитектор Витрувий еще в I в. до н. э. применял три проекции - план, фасад и профиль. Витрувий рассказывает в своем труде «Десять книг об архитектуре» (переведенном на рус­ский язык Д. Савицким в 1757 г.), что еще в V в. до н. э. Агафарх, Демокрит и Анаксагор пользовались элементами перспективы при создании декорации для театра, когда исполнялись «Прикованный Прометей» и другие трагедии великого древнегреческого драма­турга Эсхила (525—456 гг. до н. э.).

С ростом практических и технических применений изображений (в строительстве зданий и других гражданских и военных соору­жений и т. п.) к ним стали предъявлять и такие требования, чтобы по изображению можно было судить о геометрических свойствах, размерах и взаиморасположении отдельных элементов определен­ного предмета. О таких требованиях можно судить по многим па­мятникам древности, уцелевшим до наших дней. Однако строгие геометрически обоснованные правила и методы изображения про­странственных фигур (с соблюдением перспективы) стали система­тически разрабатывать художники, архитекторы и скульпторы лишь в эпоху Возрождения: Леонардо да Винчи, Дюрер, Рафаэль, Микеланджело, Тициан и др.

Об изображениях, выполненных методами, близкими к аксо­нометрии, свидетельствуют русские фрески и иконописная живо­пись XIV—XVI вв. Отсутствием перспективы характеризуются многие русские миниатюры с технической тематикой. На миниатю­ре начала XV в., изображающей литье колокола в Твери, показано устройство плавильных печей.

Основы математической теории перспективы были впервые раз­работаны Ж.Дезаргом в 1630 г. В русских чертежах XVIII в. применяются, кроме перспективных и аксонометрических, также ортогональные проекции. Последние, в частности, использовались выдающимися русскими изобретателями И. И. Ползуновым и И. П. Кулибиным.

Растущие запросы архитектуры, техники, промышленности, военного дела и живописи привели к формированию специальной математической ветви — начертательной геометрии, завершенной французским математиком Г. Монжем. Труд последнего «Начер­тательная геометрия», возникший из решений ряда вопросов фор­тификации и опубликованный в 1798 г., лег в основу проекционно­го черчения, которое широко используется в современной технике и науке. В своей книге Монж разработал метод ортогонального проектирования пространственных фигур на две взаимно перпен­дикулярные плоскости («метод Монжа»), получая двойное изобра­жение оригинала - на горизонтальной и на вертикальной плос­костях. Это дает возможность решить и обратную задачу: восста­новление пространственной фигуры или изучение ее геометрических свойств по заданным (гори­зонтальному и вертикальному) изображениям, а также реше­ние различных задач, касаю­щихся пространственных фигур, с помощью их плоских изобра­жений.

Недостатком метода Монжа является малая его наглядность. Поэтому во многих вопросах, в частности в школе, наиболее употребительным является более наглядный, аксонометрический (измерение по осям) метод, ос­нованный на параллельной про­екции.

Наиболее наглядное изобра­жение пространственных фигур на плоскости дает центральная проекция - перспектива, тре­бующая, однако, дополнитель­ных условий для решения об­ратной задачи, о которой гово­рилось ранее. Существуют и дру­гие способы изображения про­странственных фигур (проекции с числовыми отметками, федо­ровские проекции и т. д.).

Первая оригинальная рус­ская книга по начертательной геометрии была опубликована в 1821 г. Я. А. Севастьяновым. Разные прикладные вопросы начер­тательной геометрии разрабатывались академиком И. И. Сомо­вым и профессором В. И. Курдюмовым. Значительный научный вклад в развитие начер­тательной геометрии внес круп­ный русский кристаллограф и геометр Е. С. Федоров (1853-1919). Своими трудами («На­чала учения о фигурах», «Новая геометрия как основа черчения» и др.) он способствовал не только развитию теории групп, но и заложению основ многомерной начертательной геометрии. Со второй половины прошлого столетия на развитие начертательной геометрии стала оказывать значительное влияние проективная геометрия. Понятия проективной геометрии для построения начертательной широко использовали А. К. Власов, Н. А. Рынин и другие советские математики.

В XIX в. наряду с синтетической развивалась и аналитическая проективная геометрия, виднейшими представителями которой были немецкие математики Август Фердинанд Мёбиус (1790—1868) и Юлиус Плюккер (1801—1868), французский геометр Мишель Шаль (1793—1880) и др. Мёбиус впервые ввел в проективную гео­метрию систему координат. Его важнейшее произведение, опубли­кованное в 1827 г., озаглавлено «Барицентрическое исчисление»; название это связано с введением автором барицентрических (ба­рицентр — центр тяжести) координат точек. Если в трех неколлинеарных точках А, В, С помещены массы m₁ , m₂ , m₃, то соответ­ствующий центр тяжести М имеет массу , и обратно; числа m₁ , m₂ , m₃ и названы барицентрическими коорди­натами точки М. Увеличивая (уменьшая) массу т точки М в п раз, ее координаты m₁ , m₂ , m₃ также увеличиваются (уменьша­ются) в п раз. Поэтому для определения положения точки М на плоскости достаточно знать отношение m₁ : m₂ : m₃. Аналогично рассматриваются такие координаты и в пространстве. Барицентрические координаты являются частным случаем общих однородных координат, введенных Плюккером и с успехом применяемых тогда, когда речь идет о несоответственных элементах прямой, плоскости или пространства.

Мёбиус установил общее понятие проективного преобразования, рассматривая коллинеации. Под коллинеарными преобразованиями, или коллинеациями, понимают общие взаимно однозначные соот­ветствия, установленные между элементами (точками и прямыми) двух плоскостей в пространстве (в частности, совпадающих плос­костей), при которых каждой точке (прямой) одной плоскости соот­ветствует точка (прямая) другой и сохраняется инцидентность соответствующих элементов. Оказывается, что коллинеации обладают проективными свойствами, т. е. проективны соответственные формы первой ступени (ряды, пучки) двух плоскостей, между ко­торыми установлена коллинеация.

Одновременно развивалась аффинная геометрия, изучающая свойства геометрических фигур, инвариантных при любых аффин­ных преобразованиях, т. е. таких, которые, переводя точку в точку и прямую впрямую, сохраняют при этом простое отношение, трех точек прямой. Сохранение коллинеарности и простого отношения трех точек прямой влечет за собой и ряд других инвариантов аф­финных преобразований, в том числе параллелизм прямых, отно­шение двух параллельных отрезков, отношение площадей двух фигур и т. п. Известными из средней школы частными случаями аффинных преобразований являются осевая и центральная сим­метрия, гомотетия, параллельный перенос и др. Отдельные аффин­ные преобразования встречаются еще в древности (у Аполлония, Паппа).

В связи с развитием перспективы некоторые математики XVI— XVII вв. - С. Стевин, Г. Санкт-Винцент и особенно французский математик П. Никола - применяли в своих работах преобразо­вание, переводящее окружность в эллипс и называемое сжатием. В своих «Геометрических исследованиях конхоид и циссоид» Ни­кола говорит о том, что эллипс является однородной фигурой с окружностью.

В своей «Всеобщей арифметике» (1707) Ньютон пользуется преоб­разованием подобия. В другом (единственном, специально посвящен­ном геометрии) произведении И. Ньютона - «Перечисление линий третьего порядка» (1704) имеется раздел, озаглавленный «Образо­вание кривых с помощью теней», в котором автор пишет: «Если на бесконечную плоскость отбрасывать от светящейся точки тени фигур, то тенями конических сечений будут всегда тоже коничес­кие сечения...» Под «отбрасыванием тени» Ньютон понимал то, что мы теперь выражаем термином «центральное проектирование» («проекция» и происходит от латинского слова projicio - бросаю вперед). Ньютон рассматривает некоторые частные случаи проек­тивных преобразований и называет фигуры (данную и преобразо­ванную из нее) фигурами одного и того же рода. В 22-й лемме своих знаменитых «Математических начал натуральной философии» (1686) Ньютон рассматривает проективные преобразования как отображения плоских фигур. Вообще, ньютоновское понятие про­странства в целом как вместилища тел (и точек) послужило пер­вым этапом на пути к формированию современного понятия гео­метрического преобразования плоскости и пространства.

В 18-й главе 2-го тома «Введения в анализ» Эйлера речь идет о преобразованиях подобия и родства. Здесь Эйлер вводит термин «аффинный» (лат. affinis), буквально означающий «находящийся в свойстве» - родстве по жене; Этим термином Эйлер, который вводит аффинное преобразование как обобщение подобного преобра­зования, желал подчеркнуть, что степень родства между аффин­ными фигурами меньше, чем та, которая имеется в случае подоб­ных, фигур. Частным случаем подобия Эйлер считает подобие и равенство, т. е. конгруэнтность. В другой своей работе - «О цен­тре подобия» (1795) Эйлер ввел понятие центра подобия двух подобных фигур и доказал ряд основных теорем о подобии; он так­же рассматривал случай гомотетичного расположения фигур и подобные тела в пространстве.

До Эйлера понятием (но не термином) аффинного преобразова­ния и частного случая этого преобразования - сдвига - поль­зовался французский математик А. К. Клеро в написанной им в 18-летнем возрасте работе «О кривых, которые образуются пере­сечением какой-либо кривой поверхности плоскостью, известной по положению» (1733). Аффинные кривые Клеро называл «кривыми того же вида». Этот термин Клеро, как и вышеупомянутый термин Ньютона «кривые того же рода», берет свое начало от Аристотеля, согласно которому логическое определение должно содержать ближайшее родовое понятие и видовое отличие. Уже одни эти терми­ны Ньютона и Клеро в известной мере предвосхитили идею о том, что множество аффинных преобразований - это частный случай множества проективных преобразований. У Эйлера подобие выс­тупает как частный случай аффинного преобразования, а конгру­энтность - как частный случай подобия. Таким образом, в XVIII в.трудами Ньютона, Клеро и особенно работами Эйлера был в большой мере подготовлен расцвет учения о геометричес­ких преобразованиях, наступивший в следующем, XIX столе­тии,

В прошлом веке много внимания было уделено конформным преобразованиям. Как и подобие, инверсия (от латинского слова inversio - обращение) относительно окружности является одним из видов конформного (от латинского слова conformis - одной и той же формы) преобразования, сохраняющего углы между линия­ми. В работе «Соображения об ортогональных траекториях» (1769) Л. Эйлер положил начало теории общих конформных отображений (применив их затем в картографических работах), рассматривая конформные преобразования на плоскости. Последние Эйлер опре­деляет как преобразования плоскости комплексного переменного с помощью аналитических функций этого переменного. Конформ­ные преобразования пространства впервые рассматривал в сере­дине XIX в, Ж - Лиувилль, доказавший следующую теорему, но­сящую его имя: конформные преобразования пространства пере­водят сферы в сферы или плоскости. Теория конформных преобра­зований тесно связана с учением о комплексных числах, с теорией аналитических функций. Конформные отображения издавна на­ходят применение в картографии¹, а в наш век - в аэро- и гид­ромеханике, в электростатике и других областях физики и меха­ники.

Известно, что инверсия относительно окружности является круговым преобразованием, переводящим окружности в окружно­сти или прямые. Учение о круговых преобразованиях на плоскости было впервые построено Мёбиусом в его «Теории кругового срод­ства в чисто геометрическом изложении» (1855). Именно от работ Лиувилля и Мёбиуса (1790 -1868) берет свое начало так называе­мая конформная геометрия, изучающая свойства фигур, инвари­антные при любых конформных преобразованиях.

Мёбиус занимался также аффинными преобразованиями в своем «Барицентрическом исчислении» (1827). Развитию аффинной гео­метрии в большой мере способствовала работа Г. Грассмана «Уче­ние о протяженности», опубликованная в 1844 г.

К 70-м годам XIX в. уже было накоплено много сведений от­носительно разных геометрических преобразований. Актуальной стала задача их классификации и общей систематизации. Эту за­дачу выполнил немецкий математик Феликс Клейн в работе «Срав­нительное обозрение новейших геометрических исследований», известной как «Эрлангенская программа» и названной так в честь Эрлангенского университета, где при вступлении в должность профессора этого университета в 1872 г. Клейн впервые изложил содержание этой работы, Еще раньше появился первый система­тический труд по теории групп (и теории Галуа), написанный фран­цузским математиком Камилом Жорданом (1838 - 1922). Именно понятие группы было положено Клейном в основу классификации геометрических преобразований и соответствующих ветвей геомет­рии.

С помощью этого понятия Клейн как бы наводит порядок в гео­метрии. Нетрудно убедиться в том, что группу образует множество всех коллинеаций (т. е. проективных преобразований); это так называемая проективная группа, часто обозначаемая {К};группу образует также множество всех аффинных преобразований - аффин­ная группа { А }; множество всех преобразований подобия, назы­ваемых метрическими преобразованиями, образует метрическую группу {М}; группу движений { } образует множество всех геомет­рических преобразований, названных движениями (симметрия, поворот, перенос). Здесь группы перечислены нами в таком поряд­ке, что каждая последующая группа является, как показали Кэли (1821—1895) и Клейн, подгруппой предыдущей, т. е.

(1)

Это и есть групповая классификация Клейна, основные идеи которого сводятся к следующему.

Геометрия есть учение о преобразованиях, образующих группы. Каждую геометрию можно охарактеризовать соответствующей ей группой, предмет же ее состоит в изучении свойств геометрических фигур, инвариантных относительно данной группы преобразований. Так, например, метрическая геометрия изучает свойства фигур, инвариантных при всех преобразованиях группы подобия {М},названной Клейном также главной группой.

Вышеуказанная классификация (1) позволяет считать как аф­финную, так и метрическую геометрию как частные случаи проек­тивной геометрии.

Таким образом, ясно вырисовываются основные черты истори­ческого развития проективной геометрии: появившись еще в древ­ности из недр классической метрической геометрии как незначи­тельная ее часть, она развивается в XVII в. благодаря трудам Дезарга и Паскаля и становится затем в XIX в. автономной ветвью геометрии, независимой от метрической геометрии, чему способ­ствовали исследования Понселе, Штейнера и Штаудта. Труды же Кэли и Клейна выявили, что в действительности метрическая гео­метрия является лишь частью более широкой проективной геомет­рии. Частью проективной геометрии оказалась не только евклидо­ва, но и неевклидова геометрия Лобачевского и Римана.

Поиск по сайту: