Нормовані простори. Аксиоми норми. Тема: Лінійні нормовані простори

Тема: Лінійні нормовані простори.

Серед лінійних просторів важливе місце займають нормовані простори. Теорія цих просторів була розроблена С.Банахом та іншими авторами.

Нехай – лінійний простір.

Означення: Скінчений функціонал , визначений на , називається нормою в , якщо він задовольняє наступним трьом аксіомам:

1) , причому тільки при ,

2) для будь-яких ,

3) при будь-яких і при будь-якому числі .

Означення: Лінійний простір , в якому задана деяка норма, нормований простір лінійним нормованим простором.

Норму елемента будемо позначати символом : .

Таким чином, для норми отримаємо наступні аксіоми:

1) , причому тільки при , 2) для , 3) при і при будь-якому числі .

Означення: Таким чином, нормований простір – це лінійний простір , в якому поставлено у відповідність невід'ємне дійсне число , яке задовольняє умовам 1)-3).

Всякий нормований простір стає метричним, якщо ввести в ньому відстань за формулою .

Справедливість аксиом метричного простору слідує з властивостей 1) – 3). Отже, на нормований простір переносяться всі все поняття та факти, які стосуються метричних та топологічних просторів.

Означення: Повний лінійний нормований простір нормований простір банахавим простором або -простором.

Після введення метрики визначається збіжність послідовності елементів до елементу в нормованому просторі .

Означення: Послідовність елементів збігається до елемента , тобто або , якщо при . Визначна таким чином збіжність в ЛНП називається збіжністю за нормою.

Поиск по сайту: