Лінійні векторні простори

У повсякденному житті ми маємо справу з величинами різних типів. Наприклад, є скалярні величини, які задаються одним числом (температура, довжина, вага), а інші - сукупністю чисел (погода характеризується температурою, відносною вологістю і тиском; сила, прикладена до певної точки, - величиною і напрямком, норми витрати ресурсів – кількістю одиниць відповідного ресурсу: різних видів сировини, устаткування, робочої сили, палива тощо).

Впорядкована сукупність чисел називаюь вимірним вектором, а самі числа сукупності – його координатами.

Безпосередній геометричеий зміст мають лише 1-,2-,3-вимірні вектори, що зображуються напрямленим відрізком на числовій прямій, на площині або у координатному просторі відповідно, у якого один кінець (точка ) називається початком вектора, а другий кінець (точка ) – кінцем вектора. Наприклад, якщо і - початок і кінець вектора , координати самого вектора обчислюються за формулами .

Величина називається модулем вимірного вектора . При (на площині і у 3-вимірному просторі) модуль вектора – це його довжина, тому будемо надалі ототожнювати ці поняття для довільного виміру простору.

Два вектори рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні між собою їхні відповідні координати.

Лінійні операції над векторами.

Вектор можна розуміти як матрицю, що складається з одного рядка або стовпця, і тому на множині векторів однакового вимірювання визначені операції множення вектора на скаляр та додавання двох векторів:

добуток вектора на дійсне число ;

сума векторів та .

Операції множення вектора на скаляр та додавання векторів дають змогу ввести поняття лінійого векторного простору, який позначається Для елементів цього простору виконуються такі властивості:

1. Якщо і , то
2. Комутативність операції додавання:

1. Асоціативність додавання:

1. Існування нульового вектора такого, що

1. Існування протилежного вектора:

1. Якщо і то
2. Дистрибутивність множення: і
3. Асоціативність множення:

1. Існування одиниці:

Поиск по сайту: