Приклад 4

1) 2)

3) 4) 5)

6)

7)

4. Правило Крамера для розв`язування систем лінійних рівнянь.

Розглянемо систему двох рівнянь з двома невідомими:

Принаймні одне з чисел не дорівнює нулю. Нехай це . Тоді маємо

.

Якщо розв`язок системи існує і має вигляд

Узагальненням цього факту буде так зване

Правило Крамера. Система рівнянь з невідомими, якщо детермінант системи (визначник, складений із коефіцієнтов при невідомих) не дорівнює нулю, має один і тільки один розв`язок

де - визначник, утворений із визначника заміною коефіцієнтів невідомого (тобто го стовпчика в ) вільними членами системи

Приклад 1. Розв`язати систему рівнянь за методом Крамера:

Розв`язування.

За правилом Крамера маємо

Зауваження. Якщо правило Крамера має більш теоретичне значення тому, що виникає необхідність обчислювати визначників високого порядку, а це займає багато часу.

1. Обернена матриця. Матричний спосіб розв`язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Матрицею , оберненою до квадратної матриці називається така, для якоїсправедлива рівність

.

Матриця, визначник якої не дорівнює нулю, називається невиродженою.

Для того, щоб дана матриця мала обернену, необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою.

Щоб знайти матрицю , обернену до даної матриці , треба:

а) знайти визначник даної матриці ; якщо , то дана матриця має обернену;

б) скласти матрицю з алгебраїчних доповнень ;

в) транспонувати її;

г) побудувати обернену матрицю за формулою .

Приклад 1. Знайти матрицю, обернену до матриці

.

Розв`язання. Знаходимо визначник

Обчислюємо алгебраїчні доповнення елементів даної матриці:

,

.

Щоб переконатися, що результат вірний, треба переконатися, що :

.

Тепер розглянемо систему лінійних рівнянь з невідомими і запишемо її в матричній формі:

, (5.1)

де , , .

Припустимо, що матриця невироджена, тобто і існує обернена матриця . Помножимо обидві частини рівняння (5.1) на зліва:

Оскільки і , то

.

Приклад 2. Розв`язати матричним способом систему рівнянь

.

Розв`язання. В нашому випадку

.

матриця невироджена і існує обернена .

За формулою (5.1) маємо

.

Отже

Поиск по сайту: