Рівняння прямої на площині

Нехай на площині задано декартову систему координат Рівняння

(12.1)

визначає лінію на площині, тобто геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють цьому рівнянню. Лінія називається алгебраїчною лінією го порядку, якщо в деякій системі координат її рівняння (12.1) є алгебраїчним го степеня.

Приклад 1. Рівняння визначає алгебраїчну лінію 2-го степеня -коло з центром у початку координат і радіусом 1.

Приклад 2. Рівняння визначає алгебраїчну лінію 4-го степеня, але йому задовольняють координати лише однієї точки , тобто ця лінія виродилася в одну точку.

Лінія на площі є прямою тоді і тільки тоді, коли в деякій декартовій системі координат її рівняння є алгебраїчним 1-го степеня.

Рівняння прямої на площині може мати різний вигляд:

1) загальне рівняння прямої в площині

Рис.4

нормальний вектор прямої (перпендикулярний до прямої);

якщо в загальному рівнянні вільний член дорівнює нулю , то пряма проходить через початок координат;

2) рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом;

Рис.5

кутовий коефіцієнт прямої; величина відрізка, який відтинається від осі ординат прямою.

Зауваження. Для прямої, що має напрям осі ординат, не існує рівняння з кутовим коефіцієнтом тому, що вона утворює кут з напрямом осі абсцис і тангенс такого кута не визначено.

3) канонічне рівняння прямої, що проходить через точку і паралельна до вектора (такий вектор називають напрямним вектором прямої).

4) - параметричні рівняння прямої; і ті ж самі, що в попередньому випадку.

Рис.6

5) рівняння прямої “у відрізках “; величини відрізків, що відтинаються прямою від осей та відповідно.

Рис.7

Зауваження. Означена форма рівняння не існує для тих прямих, які проходять через початок координат аба паралельні до осей координат.

6) нормальне рівняння прямої; кут, що утворює перпендикуляр до прямої з додатним напрямом осі абсцис; довжина , тобто відстань точки від прямої.

Рис.8

Щоб звести загальне рівняння прямої до нормального вигляду, треба обидві його частини омножити на нормувальний множник

,

при цьому нормувальний множник має знак, протилежний знаку із загального рівняння.

Нормальне рівняння доцільно використовувати при визначенні відстані від точки до прямої:

.

Приклад 1. Скласти рівняння прямої , що проходить через точки Навести всі можливі форми рівняння.

Розв`язання. Пряма, що проходить через точки і , паралельна до вектора ,тому цей вектор буде її напрямним вектором . Отже можна скласти параметричні і канонічне рівняння відповідно:

і

або .

Якщо використати основну властивість пропорції, одержимо загальне рівняння :

.

Із загального рівняння лего одержати рівняння з кутовим коефіцієнтом:

,

рівняння у відрізках:

і нормальне рівняння:

13. Кут між двома прямими на площині. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих.

Нехай прямі задано загальними, канонічними рівняннями або рівняннями з кутовим коефіцієнтом:

Тоді кут між ними знаходимо із формул:

.

Рис.9

Відповідно умови паралельності двох прямих мають вигляд

або або ,

а перпендикулярності –

або або .

14. Площина в просторі .

Нехай в задано декартову систему координат Рівняння

(14.1)

визначає поверхню в . Якщо (14.1) – алгебраїчне рівняння го степеня, поверхня називається алгебраїчною го порядку.

Алгебраїчною поверхнєю першого порядку є площина. В той же час будь-яка площина в декартових координатах в може бути зображена рівнянням першого порядку.

Рівняння

(14.2)

називається загальним рівнянням площини. Вектор - вектор нормалі площини (14.2) (він перпендикулярний до площини). Якщо вільний член в (14.2) дорівнює нулю, то площина проходить через початок координат .

Рис.10

Рівнянням площини “у відрізках” називається рівняння

(14.3)

Рис.11

Тут величини відрізків, що відтинає площина (14.3) від осей координат.

Зауваження. Рівняння “у відрізках” не існує для тих площин, що паралельні до координатних площин або проходять через початок координат.

Нормальним рівнянням площини називається рівняння

. (14.4)

Тут це кути, що утворює вектор нормалі площини (14.4) з осями відповідно, відстань площини (14.4) від початку координат . До речі, називаються напрямними косинусами вектора нормалі площини (14.4) і задовольняють співвідношенню

Щоб перетворити загальне рівняння площини на нормальне, треба обидві частини загального рівняння (14.2) помножити на нормувальний множник

, знак якого обирається протилежним до знаку вільного члена загального рівняння.

За допомогою нормального рівняння обчислюють відстань площини (14.4) від точки за формулою:

.

Рис.12

15. Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності площин в

Кутом між двома площинами

і

називають один із суміжних двогранних кутів, утворених цими площинами. Якщо площини не перетинаються, тобто паралельні, то кут між ними дорівнює 0 або .

Нехай кут між даними площинами . Тоді кут між нормальними векторами цих площин і також дорівнює або . Тому

.

II

I

Рис.13

Якщо площини і паралельні, то їх нормальні вектори також паралельні і

.

Якщо площини і перпендикулярні, їх нормальні вектори також перпендикулярні і .

Поиск по сайту: