Лінійна залежність векторів

Нехай задано вектори Тоді вектор

називається лінійною комбінацією цих векторів з коефіцієнтами

Якщо для даних векторів числа , принаймні одне з яких відмінно від нуля, можна дібрати такими, що лінійна комбінація дорівнює нулю, то дані вектори називаються лінійно залежними, а якщо означена лінійна комбінація дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли , то лінійно незалежними.

Вектори утворюють базис векторного простору , якщо довільний ветор з цього простору можна зобразити їх лінійною комбінацією.

Максимальна кіькість лінійно незалежних векторів простору називається вимірністю цього простору і позначається .

Приклад 1. Показати, що вектори і лінійо залежні.

Розв`язання. Складемо лінійну комбінацію векторів:

і з`ясуємо, при яких виконується рівність .

Це векторне рівняння рівносильне системі рівнянь , яка має безліч розв`язків , серед яких є зокрема Тому за означенням вектори лінійно залежні.

Деякі властивості лінійної залежності векторів.

1. Система із векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один із цих векторів є лінійною комбінацією решти векторів.

2. Якщо частина векторів системи лінійно залежні, то і вся система лінійно залежна.

3. Система векторів, що містить нуль-вектор, лінійно залежна.

4. Якщо система векторів лінійно незалежна, а система

лінійно залежна, то вектор є лінійною комбінацією векторів .

Вектори і називаються колінеарними, якщо або . В координатному вигляді колінеарність означає пропорціональність відповідних координат векторів .

Очевидно, що колінеарність двох векторів еквівалентна їх лінійній залежності.

Нехай система із трьох векторів в лінійно залежна:

. Якщо ці вектори мають спільний початок, то із цього співвідношення виходить, що вони належать до однієї площини:

Рис.1

Три вектори в , що належать до однієї площини або паралельні до однієї площини, називаються компланарними. Можна довести, що три вектори в є лінійно залежними тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.

В вимірному просторі будь-яка система із векторів, де , є лінійно залежною.

Приклад 2. Перевірити, що вектори некомпланарні.

Розв`язання. Складемо лінійну комбінацію даних векторів і прирівняємо її до нуля:

.

Легко перевірити, що ця система рівнянь має єдиний розв`язок і тому вектори лінійно незалежні і відповідно некомпланарні.

Приклад 3. Вектори в лінійно незалежні тому, що їх кількість більше 3.

1. Скалярний добуток двох векторів.

Для наочних просторів скалярним добутком двох векторів і називається число, що дорівнює добутку їхніх довжин на косинус кута між ними:

.

У вимірному просторі скалярний добуток двох векторів і визначається такою рівністю:

. (9.1)

Властивості скалярного добутку:

1.

2.

3. ;

4. Якщо то

За допомогою скалярного добутку довжину вектора можна визначити як

Вектор, що має одиничну довжину, називається ортом. Для кожного ненульового вектора існує вектор такого ж напрямку, довжина якого дорівнює одиниці:

.

Два вектори називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. На площині і у 3-вимірному просторі

,

тому для ортогональних векторів косинус кута між ними дорівнює нулю і поняття ортогональності і перпендикулярності збігаються.

Якщо в лінійному просторі визначено скалярний добуток двох векторів за правилом (9.1) із властивостями 1-4, то лінійний простір називається евклідовим.

В евклідовому просторі виконується так звана нерівність Буняковського-Коші-Шварца:

.

1. Векторний добуток двох векторів в .

Векторним добутком двох векторів називається вектор такий, що

а)

в) площа паралелограма, побудованого на векторах ;

с) якщо то вектори утворюють праву трійку.

Рис.2

Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого здійснюється проти обертання годинникової стрілки.

Згідно з умовою в), вектор тоді і тільки тоді, коли вектори колінеарні.

Властивості векторного добутку:

1.

2. ;

3. ;

В координатній формі векторний добуток обчислюється за формулою:

, де

Приклад 1. Обчислити площу трикутника якщо

Розв`язання.

Рис.3

За означенням векторного добутку двох векторів площа паралелограма, побудованого на двох неколінеарних векторах, дорівнює модулю векторного добутку цих векторів. Тому площу трикутника АВС можна обчислити за формулою:

.

Залишилося знайти координати векторів:

.

Отже маємо:

;

;

1. Змішаний добуток трьох векторів в

Змішаним добутком векторів називається число

.

Властивості змішаного добутку:

1. ;2.

2. ;

3. ;

4. геометрично , де об`єм паралелепіпеда, побудованого на векторах ; знак “+” відповідає правій трійці векторів, а “-“ – лівій.

В координатній формі змішаний добуток обчислюється за формулою:

, де

Згідно з умовою 4, змішаний добуток векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектори компланарні.

Зауваження. Операції векторного та змішаного добутку визначені тільки в 3-вимірному просторі .

Приклад 1. Визначити, чи будуть лінійно залежними вектори

.

Розв`язання. Обчислимо змішаний добуток векторів

тобто дані вектори лінійно залежні.

Поиск по сайту: