|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Метод Гаусса розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівняньНехай задано систему лінійних рівнянь (1.1) в якій коефіцієнти і вільні члени - відомі, а - невідомі. Розв`язати систему (1.1) – це означає знайти впорядковану сукупність чисел таку, що при заміні відповідно на кожне рівняння перетворюється на тотожність. Система рівнянь (1.1) може мати єдиний розв`язок, безліч розв`язків, а може не мати жодного розв`язку. Серед цих рівнянь можуть бути такі, що (1.2) Якщо , то рівняня (1.2) не задовільняють ніякі значення . В цьому разі система не має розв`язку, вона несумісна. Якщо , то рівняння (1.2) задавольняють будь-які значення ,. При цьому вираз (1.2) називають тотожністю і записують . Тотожність можна вилучити із системи. При цьому решта рівнянь утворює систему, яка матиме ті самі розв`язки, що і (1.1). Такі системи лінійних рівнянь називаються рівносильними. Над системами лінійних рівнянь виконують так звані елементарні перетворення: а) додавання до обох частин рівняння відповідних частин іншого рівняння; б) перестановку рівнянь у системі; в) вилучення із системи тотжності ; г) множення якого-небудь рівняння системи на дійсне число, відмінне від нуля; д) перенумерування як рівнянь, так і невідомих. Елементарні операції не змінюють множину розв`язків системи лінійних рівнянь. Множину всіх розв`язків системи називають загальним розв`язком, а будь-який елемент цієї множини – частинним розв`язком. Для винаходження загального розв`язку системи (1.1) існує простий і зручний метод Гаусса. Він заснований на тому, що за допомогою елементарних перетворень (1.1) або переконуємося у її несумісності, або одержуємо систему особливого виду: кожне рівняння має невідому, яка надходить до цього рівняння з ненульовим коефіцієнтом, а до інших рівнянь – з коефіцієнтом 0. Якщо в кожному рівнянні зафіксована така невідома, вона називається базисною (всі базисні невідомі утворюють базис невідомих), інші невідомі (якщо такі є) називаються вільними. Приклад 1. (1.3)
Тут - базисні невідомі, - вільні. Загальний розв`язок системи (1.3) одержимо після того, як перепишемо (1.3) у виді:
Очевидно, за наявністю хоча б однієї вільної невідомої система має безліч розв`язків. Якщо ж вільних невідомих немає, розв`язок тільки один. Метод Гаусса (черговий й крок):
Процес закінчується тоді, коли всі рівняння перебували в ролі ключового. Тоді із системи, що отримали, легко знаходиться розв`язок. Приклад 2. Розв`язати методом Гаусса систему рівнянь .
Розв`язання. Складаємо таблицю із коефіцієнтів при невідомих і вільних членів рівнянь системи. Дужками позначаємо ключовий елемент, за допомогою якого занулюємо інші елементи ключового стовпця (відповідні перетворення записуємо поряд з рядками, наприклад: означає, що до четвертого рядка додається другий(ключовий), помножений на .
Рядки таблиці, що містять лише нульові елементи і відовідають рівнянням 0=0, вилучаємо. Алгоритм метода Гаусса вичерпан, тому що залишилися рядки, які вже були ключовими. Записуємо відповідні рівняння і загальний розв`язок вихідної системи: .
Будь-який частинний розв`язок одержуємо із загального, коли надаємо вільним невідомим певних значень, наприклад: при маємо частинний розв`язок
Приклад 3. Розв`язати методом Гаусса систему .
Розв`язання.
Приклад 4. Розв`язання.
Очевидно, що система несумісна тому, що останньому рядку відповідає рівняння , яке не має розв`язків. Зауваження 1. Частинний розв`язок, у якому всі вільні невідомі дорівнюють нулю, називають базисним. Зауваження 2. Система (1.1) при нульових вільних членах навається однорідною системою лінійних рівнянь. Очевидно, що будь-яка однорідна система завжди сумісна – вона має принаймні один розв`язок
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |