Завдання 4.4.31. Знайти загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння другого порядку

.

Розв’язання. Задане рівняння є лінійним неоднорідним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Згідно з формулою загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння складається із загального розв’язку відповідного однорідного рівняння і деякого частинного розв’язку лінійного неоднорідного рівняння:

.

Знайдемо спочатку . Для цього складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:

, .

Загальний розв’язок однорідного рівняння знаходимо за формулою:

.

Далі визначаємо . В нашому випадку права частина диференціального рівняння має вигляд

,

де , тобто число є двократним коренем характеристичного рівняння. Отже, частинний розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати у вигляді

,

де - невідомий коефіцієнт. Знайдемо

,

Підставимо знайденні похідні в рівняння :

Тотожно прирівнявши ліву і праву частини останнього рівняння, знайдемо

.

Таким чином, - частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння, а його загальний розв’язок має вигляд

.

Завдання 4.5.31. Дослідити на збіжність числові ряди

а)

Розв’язання. Запишемо -ий і -ий члени заданого ряду: . Тепер застосуємо ознаку Даламбера: . , отже досліджуваний ряд збігається.

б) .

Розв’язання. За радикальною ознакою Коші

, , тому цей ряд збіжний.

в)

Розв’язання. Порівняємо цей ряд зі збіжною геометричною прогресією: , знаменник якої . Оскільки при всіх маємо: , то за ознакою порівняння досліджуваний ряд - збіжний.

г) , де - деяка стала.

Розв’язання. Використаємо інтегральну ознаку збіжності, беручи в якості : . Якщо , то , тобто інтеграл, а разом з ним і ряд – розбіжні. Якщо , то

Отже, узагальнений гармонічний ряд збігається, коли , і розбігається, коли .

Завдання 4.6.31. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність знакозмінний числовий ряд:

а)

Розв’язання. Обидві умови ознаки Лейбніца виконані, тому ряд - збіжний. Запишемо ряд з абсолютних величин членів заданого ряду:

Застосуємо для цього ряду інтегральну ознаку Коші, взявши .

Маємо:

За інтегральною ознакою Коші останній ряд збіжний, отже заданий ряд - абсолютно збіжний.

б) де - деяка стала.

Розв’язання. Маємо знакозмінний ряд. Розглянемо збіжність ряду, складеного з абсолютних величин членів заданого ряду:

.

Порівняємо ий член цього ряду з м членом узагальненого гармонічного ряду :

.

Вище було доведено, що узагальнений гармонічний ряд збігається, якщо В нашому випадку отже за ознакою порівняння збігається ряд з абсолютних величин, а заданий ряд - абсолютно збіжний.

Завдання 4.7.31. Розкласти в ряд Маклорена функції:

а) .

Розв’язання. Користуючись формулою зниження степеня, маємо: . Степеневий ряд для можна отримати з ряду , якщо брати в цьому ряді замість :

.

Отже,

б) .

Розв’язання. Скористаємося біноміальним рядом:

Ряд функції отримуємо з цього ряду заміною на :

Тоді:

. Оскільки цей ряд отриманий з біноміальною заміною на , то він буде збіжним при або .

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ № 4

Завдання 4.1. Розв’язати диференціальні рівняння:

4.1.1.a) ;	б) .
4.1.2.a)	б)
4.1.3.a)	б)
4.1.4. a)	б)
4.1.5. a)	б)
4.1.6.a)	б)
4.1.7.a)	б)
4.1.8.a)	б)
4.1.9.a)	б)
4.1.10. a)	б)
4.1.11.a)	б)
4.1.12. a)	б)
4.1.13. a)	б)
4.1.14. a) ;	б)
4.1.15. a)	б)
4.1.16. a)	б)
4.1.17. a)	б)
4.1.18. a)	б)
4.1.19.a)	б)
4.1.20. a)	б)
4.1.21.a)	б)
4.1.22.a)	б)
4.1.23. a)	б)
4.1.24. a)	б)
4.1.25. a)	б)
4.1.26.a)	б)
4.1.27.a)	б)
4.1.28.a)	б)
4.1.29.a)	б)
4.1.30. a)	б)

Завдання 4.2. Знайти розв’язок задачі Коші диференціального рівняння першого порядку:

4.2.1.	4.2.2.
4.2.3.	4.2.4.
4.2..5.	4.2.6.
4.2.7.	4.2.8.
4.2.9.	4.2.10.
4.2.11.	4.2.12.
4.2.13.	4.2.14.
4.2.15.	4.2.16.
4.2.17.	4.2.18.
4.2.19.	4.2.20.
4.2.21.	4.2.22.
4.2.23.	4.2.24.
4.2.25.	4.2.26.
4.2.27.	4.2.28.
4.2.29.	4.2.30.

Завдання 4.3. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку:

4.3.1. .	4.3.2. .
4.3.3. .	4.3.4. .
4.3.5. .	4.3.6. .
4.3.7. .	4.3.8. .
4.3.9. .	4.3.10. .
4.3.11. .	4.3.12. .
4.3.13. .	4.3.14. .
4.3.15. .	4.3.16. .
4.3.17. .	4.3.18. .
4.3.19. .	4.3.20. .
4.3.21.	4.3.22. .
4.3.23. .	4.3.24. .
4.3.25. .	4.3.26. .
4.3.27. .	4.3.28. .
4.3.29. .	4.3.30. .

Завдання 4.4. Знайти загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння другого порядку:

4.4.1.	4.4.2.
4.4.3.	4.4.4.
4.4.5.	4.4.6.
4.4.7.	4.4.8.
4.4.9.	4.4.10.
4.4.11.	4.4.12.
4.4.13.	4.4.14.
4.4.15.	4.4.16.
4.4.17.	4.4.18.
4.4.19.	4.4.20.
4.4.21.	4.4.22.
4.4.23.	4.4.24.
4.4.25.	4.4.26.
4.4.27.	4.4.28.
4.4.29.	4.4.30.

Завдання 4.5. Дослідити на збіжність числові ряди

4.5.1. а) ; б) ; в) ; г) .

4.5.2. а) ; б) в) г) .

4.5.3. а) ; б) ; в) ; г) .

4.5.4. а) ; б) ; в) ;г) .

4.5.5. а) ; б) ; в) ; г) .

4.5.6. а) ; б) ; в) ; г) .

4.5.7. а) ; б) ; в) ; г) .

4.5.8. а) ; б) ; в) ; г) .

4.5.9 а) ; б) ; в) ; г) .

4.5.10. а) ; б) ; в) ; г) .

4.5.11. а) ; б) ; в) ; г) .

4.5.12. а) ; б) в) ; г) .

4.5.13. а) ; б) ; в) ; г) .

4.5.14. а) ; б) ; в) ; г) .

4.5.15. а) ; б) ; в) ; г)

4.5.16. а) ; б) ; в) ; г) .

4.5.17. а) б) в) ; г)

4.5.18. а) б) в) г)

4.5.19. а) б) в) г)

4.5.20. а) б) в) г)

4.5.21. а) б) в) г)

4.5.22. а) б) в) г)

4.5.23. а) б) в) г)

4.5.24. а) б) в) г)

4.5.25. а) б) в) г)

4.5.26. а) б) в) г)

4.5.27. а) б) в) г)

4.5.28. а) б) в) г)

4.5.29. а) б) в) г)

4.5.30. а) б) в) г)

Завдання 4.6. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність знакозмінні числові ряди

4.6.1. а) ; б) .

4.6.2. а) ; б) .

4.6.3. а) ; б) .

4.6.4. а) ; б) .

4.6.5. а) ; б) .

4.6.6. а) ; б) .

4.6.7. а) ; б) .

4.6.8. а) ; б)

4.6.9 а) ; б) .

4.6.10. а) ; б) .

4.6.11. а) ; б) .

4.6.12. а) ; б) .

4.6.13. а) ; б) .

4.6.14. а) ; б) .

4.6.15. а) ; б) .

4.6.16. а) ; б) .

4.6.17. а) б)

4.6.18. а) б)

4.6.19. а) б)

4.5.20. а) б)

4.6.21. а) б)

4.6.22. а) б)

4.5.23. а) б)

4.6.24. а) б)

4.6.25. а) б)

4.6.26. а) б)

4.6.27. а) б)

4.6.28. а) б)

4.6.29. а) б)

4.6.30. а) б)

Завдання 4.7. Розкласти функцію в ряд Маклорена та визначити область збіжності ряду

4.7.1. ;	4.7.2.
4.7.3.	4.7.4.
4.7.5.	4.7.6.
4.7.7.	4.7.8.
4.7.9.	4.7.10.
4.7.11.	4.7.12.
4.7.13.	4.7.14.
4.7.15.	4.7.16.
4.7.17.	4.7.18.
4.7.19.	4.7.20
4.7.21.	4.7.22.
4.7.23.	4.7.24.
4.7.25.	4.7.26.
4.7.27.	4.7.28.
4.7.29.	4.7.30.

Основна рекомендована література

1. Андрощук Л.В., Ковтун О.І., Олешко Т.І. Вища математика. Модуль 7. Ряди. Диференціальні рівняння: Навч. посібник. – К.: Книжкове вид-во НАУ, 2005. – 104 с.

2. Андрощук Л.В., Корнілович Є.Ю., Лубенська Т.В., Шмаков І.П. Вища математика. Модуль 6. Ряди. Операційне числення: Навч. посібник. – К.: Книжкове вид-во НАУ, 2006. – 180 с.

3. Затула Н.І., Левковська Т.А. Вища математика. Модуль 5. Диференціальні рівняння: Навч. посібник. – К.: Книжкове вид-во НАУ, 2007. – 144 с.

Додаткова рекомендована література

4. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. - К.: Національна академія управління, 1997. - 398 с.

5. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К.: А.С.К., 2001. – 68с.

6. Вища математика: Збірник задач: Навч. посібник /В.Дубовик, І. Юрик, І. Вовкодав та ін.; За ред. В.Дубовика, І. Юрика. – К: 2001, – 480 с.

Поиск по сайту: