Варіант № 31. Зразок розв’язання і оформлення контрольної роботи №4

КОНТРОЛЬНА РОБОТА №4

Зразок розв’язання і оформлення контрольної роботи №4

Варіант № 31

Завдання 4.1.31. Розв’язати диференціальні рівняння:

а) , б) .

Розв’язання. а) Рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними.

Для відокремлення змінних, поділимо обидві частини рівняння на добуток , в результаті чого отримаємо диференціальне рівняння

.

Інтегруємо останнє рівняння

, ,

- загальний інтеграл заданого рівняння.

б) Рівняння записане в загальній формі. Виразимо з нього і отримаємо рівняння в нормальній формі

.

Це рівняння є однорідним диференціальним рівнянням. Дійсно,

.

Для розв’язання однорідного рівняння введемо заміну , тоді

; ,

, , ,

,

.

Повертаючись до змінної , знаходимо загальний інтеграл заданого рівняння:

або .

Завдання 4.2.31. Знайти розв’язок задачі Коші лінійного диференціального рівняння першого порядку

.

Розв’язання. Задача Коші полягає в тому, щоб визначити частинний розв’язок диференціального рівняння, використовуючи для цього початкову умову. Для цього спочатку знаходимо загальний розв’язок диференціального рівняння.

Задане рівняння є лінійним ( і містяться в рівнянні лише в перших степенях). Розв’язуємо його методом Бернуллі. За формулою маємо

, .

, .

Складаємо систему двох рівнянь:

Розв’язуємо перше з рівнянь системи:

, .

Підставляємо отримане значення функції в друге рівняння системи і розв’язуємо його:

, .

Запишемо загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Для розв’язання задачі Коші застосуємо початкову умову і знайдемо значення сталої , для чого підставимо в загальний розв’язок значення , :

.

Отже, частинний розв’язок диференціального рівняння має вигляд

.

Поиск по сайту: