ДОДАТОК

ЗАДАЧА 1

Знайти поверхню, що задовольняє рівняння Пфаффа:

Розв’язок:

Оскільки (F• rot F) = z – 2x + y і функція z = 2x – y не є розв’язком даного рівняння, то воно не може бути про інтегровано одним співвідношенням. Про інтегруємо його двома співвідношеннями, беручи, наприклад, z = x + y. Тоді отримаємо рівняння

dx – dy = 0,

звідси

y = x + C₁.

Таким чином, одно параметричне сімейство прямих

x = t, y = t + C₁, z = 2t + C₁

задовольняє дане рівняння.

ЗАДАЧА 2

Знайти поверхню, що задовольняє рівняння Пфаффа:

Розв’язок:

F = (3yz, 2xz, xy).

Так як

rot F = –ix + 2jk – kz та (F• rot F) = 0,

то дане рівняння інтегрується одним співвідношенням. Таким чином, існує множник µ = µ(x, y, z) такий, що rot µF = 0, тобто поле µF потенційне. Звідси, для множника µ маємо рівняння:

або

Інтегруючи перше рівняння, отримуємо загальний розв’язок:

µ = yφ(x,ξ), ξ = yz².

Підставляючи отримане значення µ у друге рівняння, маємо:

звідки знаходимо

φ = x²ψ(x³y²z⁴).

А тоді

µ = yx²ψ(η), η = x³y²z⁴.

Залишається знайти ψ. Для цього скористаємося третім рівнянням. Маємо

-9x⁵y³z⁴ ψ'(η) = 0,

звідси

ψ(η) = C.

Таким чином

µ= yx²

(нехай С рівне одиниці). Помноживши почленно дане рівняння на yx², отримуємо рівняння

3x²y²zdx + 2x³yzdy + x³y²dz = 0,

ліва частина якого є повний диференціал функції , яку ми знайдемо вичисливши криволінійний інтеграл

Таким чином,

x³y²z = C

є шуканий інтеграл даного рівняння.

ЗАДАЧА 3

Знайти поверхню, що задовольняє рівняння Пфаффа:

Розв’язок:

Так як (F• rot F) = z + x – y² ≠ 0, то дане рівняння не може бути проінтегроване одним співвідношенням. Значить, залишається перевірити, чи буде функція z = y² – xy розв’язком цього рівняння. Вичисливши dz = 2ydy – xdy – ydx й підставивши значення z і dz в рівняння, отримаємо тотожність. Отже, поверхня

z = y² – xy

є єдиною, яка ортогональна полю F = (z + xy, -z, -z – y², y).

Поиск по сайту: