АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Цілком інтегровані рівняння Пфаффа

Читайте также:
  1. IV – ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ
  2. БНМ 2.2.14 Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії газів
  3. БНМ 5.1.2 Рівняння гармонічних коливань у контурі
  4. Вибір та порівняння декількох схем навантажувально-розвантажувальних робіт
  5. Завдання 4.4.31. Знайти загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння другого порядку
  6. Загальні відомості про теплообмін, рівняння теплопередачі
  7. Інтегральні криві рівняння Пфаффа
  8. Ірраціональні рівняння
  9. Комплектування та вибір раціональних складів МДЗ для будівництва каналізаційного колектора на підставі техніко-економічного порівняння варіантів
  10. ПОПИТ НА ГРОШІ ТА ЙОГО ВИДИ. КІЛЬКІСНЕ РІВНЯННЯ ОБІГУ. КРИВА СУКУПНОГО ПОПИТУ НА ГРОШІ
  11. Порівняння особливостей гомосексуальних і гетеросексуальних стосунків
  12. Рівняння нерозривності струменя

 

ОЗНАЧЕННЯ 1

Рівняння (1) називають цілком інтегрованим, якщо через кож­ну точку області D проходить інтегральна гіперповерхня (тобто (п - 1 ) -вимірна інтегральна поверхня) поля Р.

 

Як нам уже відомо, при n = 2 кожне рівняння Пфаффа є цілком інтегрованим. Цього, однак, уже не можна стверджувати при n ≥ 3.

Найпростішим прикладом цілком інтегрованого рівняння Пфаффа є рівняння в повних диференціалах, яке характеризується тим, що форма ω є точною, тобто існує функція U(х) С2 (D → R) така, що

ω = dU (7)

[Зрозуміло, що точній формі ω відповідає потенціальне векторне поле а(х) = gгad U(х).] У цьому випадку область D розшаровується інтег­ральними гіперповерхнями

Mc:={x D: U(x) = с} (8)

— поверхнями рівня функції U(х) (стала с пробігає область значень функції U(х).

Навпаки, припустимо, що для довільної точки х 0 D у деякому її околі В (х 0) існує функція U(х) C2(D → R) з ненульовим градієн­том, поверхні рівня якої є інтегральними для поля Р, а отже, орто­гональними до векторного поля а. Легко бачити, що тоді вектори grad U(x) та а(х) будуть колінеарними кожному х D. А це, своєю чергою, означає, що в околі точки х 0 для форми ω існує інтегрувальний множник, тобто функція µ: D → R \ {0}, яка має властивість

µ ω = dU. (9)

Із невиродженості форми ω випливає, що функція µ неперервно дифе-ренційовна.

Зрозуміло, що рівняння Пфаффа, для якого існує інтегрувальний множник, цілком інтегроване, причому, знаючи інтегрувальний множ­ник, ми зможемо виписати й рівняння інтегральних поверхонь (при­наймні локально).

Далі, якщо для форми

µ ω:= b(х) dx ≡ b1(х) dx1 +... + bn(x) dxn

виконується рівність (9), то з урахуванням рівностей ,

i, j = 1, …, n дістаємо умови на коефіцієнти bi:

, i, j = 1,..., n. (10)

 

ОЗНАЧЕННЯ 2

Форму b(x) dx, для якої умови (10) виконуються в кожній точці х D, називають замкненою формою в області D.

 

Відомо, що в разі виконання умов (10) криволінійний інтеграл , принаймні в околі точки х0, не залежить від конкретного вибору шляху γ 0, х), який сполучає х0 з х і цілком лежить в околі точки х0. Даний інтеграл і визначає функ­цію U(х), яка рівностями (8) задає інтегральні поверхні рівняння (1). Таку функцію назвемо інтегралом рівняння Пфаффа.

Знайдемо необхідні умови існування інтегрувального множника. При bі = µ аi як наслідок (13) маємо

За допомогою визначників цю рівність можна подати у вигляді

(11)

Оскільки всі мінори третього порядку матриці

дорівнюють нулю, то з огляду на рівності (11) таку саму властивість має й символічна матриця

(12)

Щоб переконатися в цьому, достатньо розкласти будь-які два відповід­них мінори таких матриць за їх першими рядками.

Виявляється, знайдена умова є не лише необхідною, а й достатньою.

 

ТЕОРЕМА (ФРОБЕНІУСА)

Для того щоб рівняння (1) було цілком інтегрованим, необ­хідно й достатньо, щоб усі мінори третього порядку матриці (12) перетворювалися в нуль в області D.

Доведення цієї теореми для n = 3 буде наведено в п. 4. У цьому випадку умова теореми Фробеніуса набирає вигляду

a(x) rot a(x) = 0 (13)

і означає, що векторне поле а(х) ортогональне до свого ротора.


1 | 2 | 3 | 4 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)