АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Рівняння Пфаффа

Читайте также:
  1. IV – ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ
  2. БНМ 2.2.14 Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії газів
  3. БНМ 5.1.2 Рівняння гармонічних коливань у контурі
  4. Вибір та порівняння декількох схем навантажувально-розвантажувальних робіт
  5. Завдання 4.4.31. Знайти загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння другого порядку
  6. Загальні відомості про теплообмін, рівняння теплопередачі
  7. Інтегральні криві рівняння Пфаффа
  8. Ірраціональні рівняння
  9. Комплектування та вибір раціональних складів МДЗ для будівництва каналізаційного колектора на підставі техніко-економічного порівняння варіантів
  10. ПОПИТ НА ГРОШІ ТА ЙОГО ВИДИ. КІЛЬКІСНЕ РІВНЯННЯ ОБІГУ. КРИВА СУКУПНОГО ПОПИТУ НА ГРОШІ
  11. Порівняння особливостей гомосексуальних і гетеросексуальних стосунків
  12. Рівняння нерозривності струменя

Вступ

 

Сучасна теорія диференціальних рівнянь посідає чільне місце серед інших математичних дисциплін. Гармонійне поєднання суто математичного й прикладного аспектів робить її однаково привабливою як для теоретиків, так і для тих, хто займається застосуванням математики в різноманітних галузях знань. Механіка, фізика, радіоелектроніка, машинобудування, хімія, біологія, економіка — це далеко не повний перелік наук, в яких широко використовуються диференціальні рівняння.

Мета даної роботи — ознайомити з основними, базовими поняттями, фактами, методами та найпростішими застосуваннями теми, підготувати до самостійної роботи та виконання завдань щодо розв’язання рівнянь Пфаффа.

Центральним об'єктом вивчення є звісно поняття рівняння Пфаффа (як диференціальне рівняння з кількома незалежними змінними) — аналітичний запис задачі про відшукання інтегральних поверхонь максимально можливої вимірності, яке пов’язує між собою значення шуканої функції, її похідних та аргументу. Однак в курсовій роботі диференціальне рівняння Пфаффа розглядається не лише як аналітичний об 'єкт. Значна увага приділяється геометричним поняттям і образам, які дають змогу глибше зрозуміти природу цього об'єкта, пояснити відповідні теоретичні побудови.


 

Рівняння Пфаффа

 

Нехай в області D с R3 задано диференціальну форму

ω:= а(х)dх := а1(x) dx1 +... + аn(x) dxn

з неперервно диференційовними коефіцієнтами аі: D → R, i =1, …, n. Усюди надалі ми розглядатимемо лише невироджений випадок, для якого виконується умова || а(х) || ≠ 0 х є D.

Рівняння вигляду

ω = 0................................................. (1)

називається рівнянням Пфаффа.

При n = 2 це рівняння знайоме нам. Тепер ми зробимо це в загальному випадку. Ставлячи кожній точці х0 D у відповідність гіперплощину

Р(х0): а10)(х1 - х01 ) +... + аn0) (хn – х0n ) = 0, (2)

ортогональну до вектора аn0), рівняння (1) задає в області D поле гіперплощин Р. Природно сформулювати задачу про відшукання k-ви­мірної (k ≤ n - 1) інтегральної поверхні поля Р, тобто такої поверхні, яка в кожній своїй точці х 0 дотикається відповідної гіперплощини Р(х0). Про таку поверхню можна також сказати, що вона ортогональна до векторного поля а(х). Для k -вимірної поверхні, заданої параметрични­ми рівняннями

х = х(s), х(s) С1 (DD),

де D — область у R k, умова інтегральності виражається тотожністю

a(x(s))dx(s) ≡ 0.

Основою для рівняння Пфаффа є задача відшукання інтегральних поверхонь максимально можливої вимірності k = n – 1.

Виникає завдання про знаходження сімейства поверхонь U (x, y, z) = c, ортогональних до векторних ліній. Рівняння таких поверхонь має вигляд (F• t) = 0. Де t - віктор, що лежить в дотичній площині до шуканих поверхонь:

t = i dx + j dy + k dz,

aбо в розгорнутому вигляді

Р (х, у, z) dx + Q (x, у, z) dy + R (x, у, z) dz = 0. (3)

Рівняння вигляду (3) називаються рівняннями Пфаффа.

Якщо поле F = Pi+Qj+Rk потенційне:

F = grad U, тобто

то шуканими поверхнями є поверхні рівня U (x, y, z) = c з потенційною функції U. В цьому випадку знаходження шуканих поверхонь не становить труднощів, оскільки

де криволінійний інтеграл береться на будь-якому шляху між обраною фіксованою точкою (x0, y0, z 0) і точкою зі змінними координатами (х, у, z), наприклад, по ламаній, що складається з прямолінійних відрізків, паралельних осям координат.

Якщо ж поле F не потенційне, то в деяких випадках можна підібрати скалярний множник µ(х, у, z), після множення на який вектора F поле стає потенційним.

Якщо такий множник існує, то µ F = grad U або

і, отже,

або

Примножуючи перше з цих тотожностей на R, друге на P, третє на Q і складаючи почленно всі три тотожності, отримаємо необхідну умову існування інтегруючого множника µ:

або (F• rot F) = 0, де вектор rol F - вихор поля - визначається рівністю

Якщо ця умова, яка називається умовою повної інтегровності рівняння (3), не виконується, то не існує сімейства поверхностей U (x, y, z) = c, ортогональних векторним лініям поля F (x, у, z).

Дійсно, якщо б таке сімейство U (x, y, z) = c існувало, то ліва частина рівняння (3) могла б відрізнятися від

лише деяким множником µ(x, у, z), який і був би інтегровним множником рівняння (3).

Отже, для існування сімейства поверхонь U (x, y, z) = c, ортогональних векторним лініям векторного поля F, необхідно, щоб вектори F і rot F були б ортогональні, тобто (F• rot F) = 0.

ЗАУВАЖЕННЯ

Умова (F• rot F) = 0 називається також умовою інтегровності рівняння Пфаффа Р dx + Q dy + R dz = 0 одним співвідношенням U (x, y, z) = c.

Іноді потрібно визначити не поверхні, ортогональні векторним лініям поля F, а лінії, що володіють тією ж властивістю, іншими словами, треба проінтегрувати рівняння Пфаффа не одним, а двома співвідношеннями:

U1 (x, y, z) = 0 та U2 (x, y, z) = 0. (4)

Для знаходження таких ліній можна одне з рівнянь (4) задати довільно, наприклад

U1 (x, y, z) = 0, (5)

і, виключивши з рівняння (3) за допомогою рівняння (5) одну з змінних, наприклад z, отримаємо диференціальне рівнянняння виду

М (х, y) dx + N (x, y) dy = 0,

інтегруючи яке, знайдемо шукані лінії на довільно обраній поверхні U1 (x, y, z) = 0.

Покажемо, що умова (F • rot F) = 0 є не тільки необхідним, але і достатнім для існування сімейства поверхностей, ортогональних векторним лініям.

Зауважимо, що на шуканих поверхнях U (x, y, z) = c повинно обертатися в тотожність рівняння

Р dx + Q dy + R dz = 0

або, що те ж саме, на цих поверхнях криволінійний інтеграл

(6)

Рис. 1
P 1
l
S
L
P 2
М  
має дорівнювати нулю по будь-якому шляху (в тому числі і по незамкнутим шляхам).

Розглянемо всілякі вихрові поверхні, тобто векторні поверхні поля rot F. Очевидно, що в силу теореми Стокса

де dr = i dx + j dy + k dz, і інтеграл (6) по будь-якому замкнутому шляху на вихровий поверхні дорівнює нулю (так як скалярний добуток одиничного вектора нормалі до поверхні n і вектора rot F дорівнює нулю). Виберемо тепер серед вихрових поверхонь ті, на яких всі інтеграли

по незамкнутим шляхах також равні нулю. Для побудови такої поверхні, що проходить через задану точку М (x0, y0, z 0), проведемо через цю точку М якусь лінію, ортогональну векторним лініям поля F. Такі лінії визначаються рівнянням

Р dx + Q dy + R dz = 0, (3)

до якого додано рівняння довільної поверхні z=f (x, у), що проходить через точку М (найчастіше рівняння цієї поповерхні беруть у вигляді z = f1 (x) або z = f2 (y) або навіть у вигляді z = a, де а - константа). Підставляючи z = f (x, у) в (3), отримаємо звичайне рівняння виду

М (х, y) dx + N (x, y) dy = 0,

інтегруючи яке і враховуючи початкову умову у (х0) = у0, отримаємо шукану криву l, що проходить через точку М (x0, y0, z 0) і ортогональну векторним лініям (рис. 1).

Якщо ця лінія не є лінією вихору, то, проводячи через кажну точку лінії l лінію вихору, отримаємо шукану поверхню S, ортогональну векторним лініям поля F.

Дійсно, взявши будь-яку незамкнену криву l на поверхні S (рис. 1) і провівши через її граничні точки вихрові лінії до перетину з кривою l в точках р1 і р2, отримаємо замкнутий контур, що складається з відрізка лінії l між точками р1 і р2, кривої l і двох вихрових ліній.

Криволінійний інтеграл . Взятий з цього замкнутого контуру С, дорівнює нулю, так як контур лежить на вихровій поверхні, причому той же інтеграл, узятий на відрізку дуги l, і по відрізках вихрових ліній дорівнює нулю, так як дуга l і вихрові лінії ортогональні векторним лініях поля F (вихрові лінії ортогональні векторним лініях поля F в силу умови (F • rot F) = 0). Отже, інтеграл по довільно обраному нами незамкнутому шляху l дорівнює нулю, тобто поверхня S є інтегральною поверхнею рівняння (3), що проходить через задану точку М.

Цей метод доказу достатності умови (F • rot F) = 0 для існування сімейства поверхонь, ортогональних векторним лініям поля F, одночасно вказує шлях, правда не найкоротший, для знаходження цих поверхонь.

 

ПРИКЛАД 1

z dx + (x – y) dy + zy dz = 0.

Умова (F • rot F) = 0, де F = zi + (x –y)j + yzk, не виконується, отже, дане рівняння не інтегрується одним співвідношенням.

ПРИКЛАД 2

(6x + yz) dx + (xz - 2у) dy + (ху + 2z) dz = 0.

Так як rot F ≡ 0, де F = (6x + yz) i + (xz - 2y) j + (xy + 2z) k, то F = grad U, де

.

В якості шляху інтегрування вибираємо ламану, ланки якої паралельні осям координат. Інтегруючи, отримуємо U = 3x2 – y2 + z2 + xyz, і отже, шуканим інтегралом є

3x2 – y2 + z2 + xyz = с.


 


1 | 2 | 3 | 4 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)