Уравнения касательной и нормали к графику гладкой функции

Геометрический смысл производной у' (x ₀), как следует из вышеизложенного, - угловой коэффициент касательной к графику функции y = f (x) в точке (x ₀, y ₀= f (x ₀)). Не любая функция имеет касательную в каждой точке, так, невозможно построить касательную к графику функции | x | в точке (0,0). Чтобы в точке (x ₀, y ₀= f (x ₀)) существовала касательная, необходимо существование предела , т.е. существование производной. Функции, имеющие производную в каждой точке своей области определения (т.е. функции, графики которых имеют касательную в каждой точке), будем называть гладкими. Применяя известные формулы аналитической геометрии для прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом, получаем:

уравнение касательной в точке (x ₀, y ₀= f (x ₀)): ;

уравнение нормали к графику функции в точке (x ₀, y ₀= f (x ₀)): (при условии, что у' (x ₀)¹0).

6.2. Производные некоторых элементарных функций.

1. у = С = const. Так как у = С = const, то для "D х D у =0, поэтому .

2. у = х. В Этом случае D у = (х +D х)- х =D х, поэтому .

3. у = х^а . = при D х ®0 (по формуле 8 табл.4.4.10 эквивалентных БМ). Поэтому .

4. . = при D х ®0 (по формуле 6 табл.4.4.10 эквивалентных БМ). Поэтому (a >0, a ¹ 1). Следствие: .

5. . ~ при D х ®0 (по формуле 7 табл.4.4.10 эквивалентных БМ). Поэтому (a >0, a ¹1, x >0).

Следствие: .

6. . = = (по формуле 1 табл.4.4.10 эквивалентных БМ). Поэтому .

7. . и, далее, так же как в в предыдущем случае, получаем .

6.3. Производная обратной функции.

Вывод формул производных функций и .

Теор.6.1. Пусть для f (x): 1. выполняются условия Теор.5.6.5 об обратной функции (непрерывность и строгая монотонность на отрезке [ a, b ]). 2. в точке х ₀ существует неравная нулю производная f' (х ₀). Тогда обратная функция х = g (у) в точке у ₀= f (х ₀) также имеет производную, равную .

Док-во. Придадим переменной у приращение D у ¹0. Тогда переменная х получит приращение . Вследствие строгой монотонности D х ¹0; вследствие непрерывности D х ®0ÛD у ®0. . Устремим D у ®0, тогда D х ®0 и, по условию теоремы, существует (предел дроби), т.е. .

Итак, производные взаимно обратных функций связаны соотношением .

Применим эту формулу для вывода производных обратных тригонометрических функций.

8. . Обратная функция имеет производную . Так как , получим: .

9. Для функции совершенно аналогично получается .

6.4. Формула для приращения функции, имеющей производную.

Непрерывность функции, имеющей производную.

Пусть x - точка, в которой функция у = f (x) имеет производную у' (x), D х и D у - приращение аргумента и соответствующее приращение функции. Докажем

Теор.6.2. Если функция имеет производную в точке х, то её приращение в этой точке можно представить в виде D у = у' (x) D х + a(D х) D х, где a(D х) - бесконечно малая функция при D х ®0.

Док-во. Пусть . По теор.4.4.9 о связи функции с её пределом функция представляется в виде . Домножая это выражение на D х, получим необходимое представление приращения функции, имеющей производную.

Из доказанной теоремы сразу следует, что функция, имеющая производную в точке х, непрерывна в этой точке: если D х ®0, то D у = у' (x) D х + a(D х) D х тоже стремится к нулю, т.е. БМ приращению функции соответствует БМ приращение аргумента. Обратное утверждение неверно: функция | x | непрерывна в точке x =0, но не имеет в этой точке производной.

6.5. Основные правила дифференцирования.

Здесь мы выведем основные формулы, применяющиеся при нахождении производных - формулы для производных суммы, произведения, частного и т.д. Значение функции в точке х +D x нам удобно будет представлять в виде у (х +D x) = у (х)+ D у = у (х)+ у' (x) D х + a(D х) D х, где a(D х) - БМ при D х ®0, следующим из определения для приращения функции: D у = у (х +D x)- у (x).

6.5.1. Пусть функция u (x) имеет производную в точке х. Тогда в этой точке имеет производную функция y (x)=(С u (x)), и (С u (x)) ' = С u' (x).

Док-во: D y = D(С u (x))= (С u (x +D x))- (С u (x))=С[ u (x +D x)- u (x)]=CD u Þ$

.

6.5.2. Производная суммы. Пусть функции u (x) и v (x) имеют производные в точке х. Тогда в этой точке имеют производные функции y = (u (x)± v (x)), и (u (x)± v (x)) ' = u' (x)± v' (x).

Док-во: D y = D(u (x) ± v (x))= (u (x +D x) ± v (x +D x))- (u (x) ± v (x))=[ u (x +D x)- u (x)] ±[ v (x +D x)- v (x)]=D u ±D v (x) Þ$ .

6.5.3. Производная произведения. Пусть функции u (x) и v (x) имеют производные в точке х. Тогда в этой точке имеет производную функция y = (u (x) v (x)), и (u (x) v (x)) ' = u' (x) v (x))+ u (x) v' (x)).

Док-во. Найдём D у. Так как u (х +D x) = u (х)+D u, v (х +D x) = v (х)+D v, то

D у = u (х +D x) v (х +D x)- u (х) v (х)=[ u (х)+D u ][ v (х)+D v ]- u (x) v (x)= u (x)D v + v (x)D u +D u D v. . Перейдём к пределу при D х ®0. Так как при этом D u ®0, то

.

6.5.4. Производная частного. Пусть функции u (x) и v (x) имеют производные в точке х, причём v (x)¹0. Тогда в этой точке имеет производную функция , и .

Док-во. Найдём D у: .

. Перейдём к пределу при D х ®0. Так как при этом D v ®0, то .

6.5.5. Производная сложной функции. Теор.6.3. Пусть функция имеет в точке производную , функция имеет в точке производную . Тогда сложная функция имеет в точке производную, равную произведению производных функций и : .

Док-во. Придадим переменной приращение D х, тогда переменная u получит приращение D u, как следствие, функция получит приращение D у. По Теор.6.2 о приращении функции, имеющей производную, , где a(D u) - БМ функция при D u ®0. Тогда . Перейдём к пределу при D x ®0. Так как при этом D u ®0, то

6.5.6. В качестве примера применения доказанных в этом разделе формул выведем формулы для производных оставшихся элементарных функций:

10. .

11. доказывается аналогично.

12.

.

13. доказывается аналогично.

14. .

15. - доказывается аналогично.

16. .

17. - доказывается аналогично.

18. .

19. - доказывается аналогично.

20. .

21. - доказывается аналогично (формула (20) справедлива при | x |<1, (21) - при | x |>1).

6.6. Примеры вычисления производной.

Вывод формул производных функций, в которых применяются только арифметические действия, обычно не представляет трудностей:

1.

Эти действия должны выполняться автоматически, с минимальным числом промежуточных этапов. Немного сложнее задачи, в которых участвуют сложные функции:

2. . Здесь в соответствии с выведенной 6.3.5 формулой для производной сложной функции : , , поэтому .

3. . Здесь: , , поэтому . Интересно, что результат только знаком отличается от производной функции , почему?

4. Если функция включает несколько суперпозиций, правило дифференцирования сложной функции применяется несколько раз:

И здесь все действия должны быть доведены до автоматизма:

5. .

Приведём ещё один приём, которым приходится пользоваться при дифференцировании - логарифмическое дифференцирование. Иногда проще продифференцировать логарифм данной функции, чем саму эту функцию. Это может быть, например, если функция представляет собой произведение большого числа сомножителей, или показательно-степенное выражение. Выведем формулу для производной показательно-степенной функции:

. Логарифмируем это выражение: . Дифференцируем обе части этого равенства по х, учитывая сложную зависимость от х в логарифмах:

.

Окончательно: . Пример:

6.

6.7. Односторонние и бесконечные производные.

В этом разделе будут рассмотрены особые случаи, которые могут встретиться при нахождении производных.

6.7.1. Односторонние производные. Пусть х - правый или левый конец [ a, b ] отрезка, на котором определена функция. Тогда при вычислении предела отношения в точке а мы можем рассматривать только случай , в точке b - только случай , т.е. искать односторонние пределы. Соответственно, полученные производные называются односторонними производными справа или слева. Графики функции будут иметь в этих случаях односторонние касательные.

Возможно, и во внутренней точке отрезка [ a, b ] пределы отношения существуют при и при , но не равны между собой. Это означает, что функция не имеет производной в этой точке, однако полученные пределы и в этом случае называются односторонними производными справа и слева; для графика функции существуют только односторонние касательные, сама точка на графике в этом случае называется угловой.

6.7.2. Бесконечные производные. Если предел отношения при равен ¥ (или +¥, или -¥), то эти несобственные числа тоже называют производной, и обозначают обычным образом, например . Аналогично определяются односторонние бесконечные производные. Геометрически это означает, что график функции в соответствующей точке имеет касательную, параллельную оси О у. Возможные сочетания бесконечных односторонних производных приведены на рис. справа.

6.7.3. Примеры несуществования и разрывов производных. Функции у = | x | и не имеют обычной производной в нуле. Для графика функции | x | точка (0,0) является угловой; функция (график справа) в этой точке не имеет даже односторонних производных: если х = 0, то , эта функция рассматривалась в 4.4.1. Предел функции как пример функции, не имеющей предела в нуле (пример 4). Ещё один интересный пример - функция . Её производная при равна и не имеет предела при . В тоже время прямое вычисление производной в точке х = 0 даёт

при . Таким образом, эта функция имеет нулевую производную в точке х = 0, но пределы не существуют, т.е. производная претерпевает в точке х = 0 разрыв второго рода, так же как и предыдущая функция.

6.8. Дифференцируемость функций. Дифференциал.

6.8.1. Определение дифференцируемости и дифференциала. Пусть функция y = f (x) определена в точке х и некоторой окрестности этой точки и непрерывна в точке х. Тогда приращению D х аргумента соответствует приращение D у = f (x +D х)- f (x), бесконечно малое при D х ®0. В особый класс дифференцируемых функций выделяются функции, для которых D у с точностью до бесконечно малой высшего порядка по сравнению с D х линейна по D х. Более точно:

Опр.6.2. Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке х, если её приращение D у в этой точке можно представить в виде , где А - не зависящая от D х величина, a(D х) - БМ высшего порядка по сравнению с D х: при D х ®0.

В более краткой записи для дифференцируемой в точке х функции .

Опр.6.3. Главная часть приращения D у дифференцируемой функции, линейная относительно приращения D х аргумента (т.е. ), называется дифференциалом функции и обозначается dy (или df (x)).

Связь между дифференцированием и дифференцируемостью даёт

Теор.6.4. Для того, чтобы функция y = f (x) имела в точке х конечную производную

y' = f' (x), необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируемой в этой точке.

Док-во. Необходимость. Пусть в точке х существует конечная производная y'. По теор.6.2 о приращении функции, имеющей производную, D у = у' (x) D х + a(D х) D х, где a(D х) - бесконечно малая функция при D х ®0. Сравнивая это выражение с определением 6.2, делаем вывод: А = у' (x), БМ a(D х) D х имеет более высокий порядок по сравнению с D х, т.е. f (x) действительно дифференцируема в точке х.

Достаточность. Пусть f (x) дифференцируема в точке х, т.е. её приращение D у можно представить в виде , где А - не зависящая от D х величина, a(D х) - БМ высшего порядка по сравнению с D х: при D х ®0. Тогда . Следовательно, существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента, т.е. $ у' (x), и у' (x)= А.

Таким образом, для функции одной переменной существование производной и дифференцируемость - эквивалентные свойства. При этом коэффициент А всегда равен у' (x), и выражение для дифференциала приобретает вид dy = у' (x) D х. Для независимой переменной х принимают dх ==D х (формально это можно обосновать так: если у = х, то у' (x)=1, и dy = dх = D х).Итак, окончательное выражение для дифференциала имеет вид .

Важно осознать, что в этом выражении не обязательно понимать dх как бесконечно малую, dх - произвольное не зависящее от х приращение аргумента (но именно при dх ®0 и dу ®0, и призведение у' (x) dх = dy становится главной частью приращения функции). Так как у' (x)=tg(a) - угловой коэффициент касательной, то геометрически дифференциал dy - это приращение ординаты касательной при смещении абсциссы на dх =D х. Значение dy может значительно отличаться от приращения функции D у, но при достаточно малых D х (в окрестности точки касания) они близки (участок АВ графика функции).

6.8.2. Инвариантность формы первого дифференциала. Здесь мы рассмотрим одно важное свойство дифференциала, следующее из формулы для производной сложной функции (раздел 6.5.5. Производная сложной функции): если функции и имеют в соответствующих точках производные и , то производная сложной функции равна .

Если х - независимая переменная, то формула для дифференциала: . Если , то . Таким образом, независимо от того, является ли х независимой переменной, или сама эта переменная х является функцией другой переменной t, формула для нахождения дифференциала первого порядка одна и та же. Это свойство и называется инвариантностью формы первого дифференциала,и часто применяется в теории и решении задач. Ниже (раздел 6.10) мы с помощью этого свойства выведем формулу для производной функции, заданной параметрически.

6.8.3. Правила для вычисления дифференциала. Примеры вычисления дифференциала. Правила для вычисления дифференциала - прямое следствие правил дифференцирования (раздел 6.5):

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Докажем, для примера, формулу 3: .

При нахождении дифференциала можно вычислить производную и затем применить формулу :

, поэтому ;

но более квалифицированным является прямое применение правил вычисления дифференциала:

6.8.4. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Именно близость исходной функции и её касательной в окрестности точки касания служит источником многочисленных приближённых формул для вычисления значений функций. По теор.6.2 (раздел 6.4. Формула для приращения функции, имеющей производную) D у = у' (x) D х + a(D х) D х, где a(D х) - БМ при D х ®0; с учётом того, что у' (x) D х = у' (x) dх = dy, пренебрегая бесконечно малым слагаемым высшего порядка по сравнению с D х, получим D у @ dу. Так как D у = у (x + D х)- у (x), то формула для приближённого значения у (x + D х) будет иметь вид у (x + D х)@ у (x)+ у' (x) D х. На практике этой формулой пользуются так. Пусть требуется вычислить значение функции в точке х ₁. Подбирают близкую к точке х ₁ точку x, в которой легко вычислить точное значение у (x) и у' (x), тогда D х = х ₁- х и у (x + D х)@ у (x)+ у' (x) D х. Примеры:

1. Вычислить . В этом случае , функция и производная легко вычисляется в близкой точке х =32, у (х)=2, у' (х)=1/(5*2⁴)=1/80, х ₁=30, D х =30-32= -2, и

@2-2/80 = 1.975 (более точное значение 1.97435).

2. Вычислить sin(0.5). y (x)=sin x, y' (x)=cos x, в качестве х примем x = p/6@0.524, х ₁=0.5,

D х =0.5-0.524= -0.024, y (x)=0.5, y' (x)= @0.866, y (х ₁) @ 0.5 - 0.024*0.866@0.5-0.021=0.479 (более точное значение 0.47943).

6.9. Таблица производных и дифференциалов.

Соберём полученные в разделах 6.2, 6.3, 6.5 выражения для производных и следующие из них выражения для дифференциалов в одну таблицу:

№	y (x)	y' (x)	dy		№	y (x)	y' (x)	dy
	y = C
	у = ха	aха-1	aха-1dx
3a
4a

6.10. Производные функций, заданных параметрически и неявно.

6.10.1. Производные функций, заданных параметрически. Пусть зависимость у от х задана через параметр t: , обе эти функции дифференцируемы, и для первой из них существует обратная функция . Тогда явная зависимость у от х выражается формулой . Находим производную: . Здесь мы воспользовались результатами разделов 6.5.5. Производная сложной функции и 6.3. Производная обратной функции. То же выражение можно получить из 6.8.2. Инвариантности формы первого дифференциала: .

Примеры:

1. . Тогда . В этом примере легко получить явную зависимость у от х: . Подставим сюда зависимость х от t: . Как и следовало ожидать, получен тот же результат.

2. . Тогда .

6.10.2. Производные функций, заданных неявно. Неявным заданием зависимости у от х называется уравнение вида F (x, y) = 0, связывающее эти две переменные. Общая формула для y' (x), следующая из неявного уравнения F (x, y) = 0, включает в себя частные производные, которые мы будем изучать позже; пока приведём несколько примеров, показывающих, как найти производную y' (x) из неявного уравнения.

1. . Дифференцируем это равенство по х, учитывая зависимость у от х (применяя правило дифференцирования сложной функции: ):

. Легко понять, что при этом всегда получится уравнение, линейное относительно y' (x), которое без труда решается: . Производная найдена, она совпадает с полученной в предыдущем разделе (с учётом явного выражения ).

2. . Дифференцируем по х, учитывая зависимость у от х:

.

Решаем это уравнение относительно y': .

6.11. Производные и дифференциалы высших порядков.

6.11.1. Производные высших порядков. Формула Лейбница. Пусть функция имеет производную y' (x) в каждой точке интервала (а, b). Функция y' (x) тоже может иметь производную в некоторых точках этого интервала. Производная функции y' (x) называется второй производной (или производной второго порядка) функции и обозначается . Функция y'' (x) тоже может иметь производную, которая называетсятретьей производной (или производной третьего порядка) функции и обозначается . Вообще n -ой производной (или производной n -ого порядка) функции называется производная от производной n -1-го порядка (обозначения: ).

Производные высших порядков последовательно вычисляются по уже известным формулам и правилам. Пусть, например, . Тогда , , , и т.д. В некоторых случаях можно получить общее выражение для n -ой производной функции: пусть . Тогда , , , и вообще . Аналогичную формулу можно получить для косинуса. Другой пример: . Если представить эту функцию в виде , то , , и вообще .

Для высших производных произведения функций справедлива формула Лейбница:

. Эта формула внешне похожа на формулу бинома Ньютона и, также как формула бинома Ньютона, может быть доказана методом математической индукции. Для низших производных:

; ; .

6.11.2. Дифференциалы высших порядков также определяются индуктивно: дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от её первого дифференциала; дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от второго дифференциала; и вообще, дифференциалом n -го порядка функции называется дифференциал от её n -1-го дифференциала. При вычислении высших дифференциалов необходимо учитывать, что дифференциал независимой переменной - произвольная и независимая от х величина, которая при дифференцировании рассматривается как постоянная. Поэтому ; ; …., .

6.11.3. Неинвариантность формы старших дифференциалов относительно замены переменной. В разделе 6.8.2. Инвариантность формы первого дифференциала мы доказали, что независимо от того, является ли х независимой переменной, или сама эта переменная х является функцией другой переменной t, формула для нахождения дифференциала первого порядка одна и та же: dy = y ' dx. Покажем, что уже второй дифференциал этим свойством не обладает. Если х - независимая переменная, то d ² y = y " dx ². Если x = j(t), то d ² y = d (dу) = d (y ' _хdx) =

= d (y ' _х) dx + y ' _хd (dx). Для первого слагаемого вследствие инвариантности формы первого дифференциала d (y ' _х) = y " _ххdx, для второго d (dx) = d ² x, поэтому окончательно d ² y = y " _ххdx ²+ y ' _хd ² x, что отличается от случая независимой переменной. Причина этого понятна: если х независимая переменная, то при нахождении второго дифференциала dx рассматривается как независимая от x константа; в случае x = j(t) дифференциал dx определяется дифференциалом dt.

6.11.4. Старшие производные функции, заданной параметрически. В разделе 6.10.1. Производные функций, заданных параметрически, для первой производной функции

была получена формула . Если применить эту формулу к функции

то получим: ; аналогично, применяя ту же формулу ко второй производной , получим выражение для третьей производной, и т.д. Так, для функции мы получили . Найдем вторую производную: .

6.11.5. Старшие производные функции, заданной неявно, находятся последовательно, в соответствии с определением старших производных. Так, для неявно заданной зависимости у от х мы получили . Найдём вторую производную: . Дальше можно найти третью и т.д. производные.

Поиск по сайту: