Ускорения

Описание перемещения, скорости и ускорения в векторной и координатной форме.

Пусть в мемент времени t1=t положение мат точки определяется радиус-вектором (r1) r1=x1*i+y1*j+z1*k, а в момент времени (t2), тогда перемещение за то простейшее перемещение (разность м/у концом и началом координат),тогда . Если закон движения задан в векторном виде +y(t)*y+z(t)*k то таким образом тогда значение вектора скорости а косинус направляющих углов в пространстве ускорение ; направление в пространстве

Ускорение точки при криволинейном движении. Нормальное и тангенциальное

ускорения.

при криволинейном движении скорость направлена по касательной. Если в естественной системе координат закон движения мат точки задан в виде S=S(t), то скорость , r – единичный вектор или S- дуговая координата. Кривизна траектории. Радиус кривизны траектории. РИСУНОК обозначим длину дуги АВ=∆S. Тогда средней кривизной дуги АВ наз-ся . Если устремить точку В к точке А, то ∆S при этом устремиться при э

том к 0, тогда мгновенная кривизна устремиться –мгновенная кривизна. Радиус кривизны Ускорение мат точки при криволинейном движении. Если V=V*r, то ускорение мат точки РИСУНОК. Докажем, что dr┴r, т.к. скалярное произведение r*r=1, то дифференцируя это выражение по времени получаем ; ; , n-единый вектор. Т.о.

, где -характеризует быстроту изменения вектора скорости по численному значению с течением времени. . -характеризует быстроту изменения вектора скорости по направлению т.о. с течением времени. т.о. полное ускорение

модуль тангенциального ускорение: ; где V – модуль мгновенной скорости, S-путь. Модуль нормального ускорения:

4.Кинематика твердого тела. Число степеней свободы твердого тела. Поступательное движение твердого тела. Вращение вокруг неподвижной оси. Векторы угловойскорости и углового ускорения.

Кинематика твердого тела – это раздел, в котором изучают кинематику абсолютно твердого тела. Основными задачами кинематики твердого тела являются задание движения и определение кинематических характеристик движения тела в целом, а также определение кинематических характеристик движения точек, принадлежащих этому телу.К простейшим движениям твердого тела относят поступательное движение и вращение тела вокруг неподвижной оси. Более сложные виды движения – плоскопараллельное и сферическое. Обсолютно твёрдое тело – тело, расстояние между любыми двумя точками которого с течением времени не изменяется.

Для задания движения твердого тела необходимо установить число степеней свободы, т.е. минимальное число независимых скалярных переменных, в совокупности однозначно определяющих положение материального тела в пространстве. Эти переменные в динамике принято называть обобщенными координатами. При задании движения твердого тела его положение в пространстве можно считать заданным, если известно положение трех его точек, например, А, В, С, не лежащих на одной прямой. В этом случае для однозначного определения положения твердого тела в пространстве необходимо знать по три координаты каждой из этих точек: Все девять координат нельзя считать независимыми, так как они связаны между собой уравнениями, вытекающими из условия неизменности расстояния между точками А, В, С абсолютно твердого тела: ; ; где АВ, АС, ВС – расстояния между соответствующими точками тела. Таким образом, число степеней свободы твердого тела в общем случае его движения в пространстве равно шести (3×3 – 3 = 6). При этом в качестве независимых параметров могут выступать как любые шесть независимых координат точек А, В, С, так и шесть других независимых скалярных переменных. Кроме общего случая движения твердого тела, имеют место и другие его виды, характеризующиеся некоторыми отличительными признаками, позволяющими выделять их из всех возможных движений тела.Число независимых координат, которые однозначно определяют положение тела или системы тел в пространстве называется числом степеней свободы. Поступательным движением твердого тела называют такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается при движении параллельной своему первоначальному направлению. Поступательное двнжение может быть и прямолинейным, и криволинейным. Например, кузов автомобиля, движущийся по прямолинейному участку дороги, совершает прямолинейное поступательное движение; кабинка вращающегося колеса обозрения совершает криволинейное поступательное движение. Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: «При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (совпадающие при наложении) траектории и имеют равные по модулю и направлению скорости и ускорения». Следовательно, поступательное движение тела вполне определяется движением какой-либо его точки, а изучение движения сводится к уже рассмотренной задаче кинематики точки. Задавать поступательное движение можно, например, с помощью трех декартовых координат любой точки тела, являющихся функциями времени Так как для описания положения тела в пространстве надо задать три независимых параметра (декартовы координаты одной из его точек), говорят, что тело при поступательном движении в пространстве имеет три степени свободы.Поскольку скорости и ускорения всех точек твердого тела при поступательном движении одинаковы, можно пользоваться терминами «скорость тела» и «ускорение тела», подразумевая скорость и ускорение любой его точки. При координатном способе задания движения скорость и ускорение тела определяют по их проекциям на координатные оси, которые равны первой и второй производным от соответствующих координат по времени:

Модули скорости и ускорения определяются по формулам: Вращением вокруг неподвижной оси называют такое движение твердого тела, при котором две какие-либо точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными. Прямую, проходящую через эти точки, называют осью вращения тела. Перемещение тела из одного положения в другое называют поворотом. Все точки тела, лежащие на оси вращения, неподвижны. Все точки, не лежащие на оси вращения, описывают окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры расположены на оси. Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы, так как его положение в пространстве в любой момент времени полностью определяется одним независимым параметром – плоским углом j между двумя плоскостями: неподвижной и подвижной, жестко связанной с вращающимся телом.Этот угол называют углом поворота тела и измеряют в радианах. При этом принято считать угол поворота j положительным, если поворот тела, наблюдаемый с положительного направления оси Оz, виден происходящим против хода часовой стрелки.

Таким образом, закон вращательного движения можно считать установленным, если задан угол поворота тела как функция времени

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения тела в целом являются угловая скорость и угловое ускорение.Угловая скорость тела – это векторная величина, характеризующая интенсивность и направление изменения угла поворота тела. Алгебраическое значение угловой скорости равно первой производной по времени от угла поворота тела

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения тела в целом являются угловая скорость и угловое ускорение. Угловая скорость тела – это векторная величина, характеризующая интенсивность и направление изменения угла поворота тела. Скорость и ускорение точки тела определим по формулам: где – радиус-вектор точки, проведенный из любой точки на оси вращения тела, Вращение называют равномерным, если в процессе движения угловая скорость остается постоянной по модулю и по направлению, т.е., если Умножив правую и левую части этого равенства на величину dt и проинтегрировав левую часть полученного равенства в пределах от до φ, а правую – от 0 до t, получим закон равномерного вращения: ращение называют равнопеременным, если угловое ускорение тела в процессе движения остается постоянным по модулю и направлению, т.е., если Так как то полученное выражение запишем в следующем виде . Интегрируя это выражение при изменении угла поворота от до и времени от 0 до t, запишем закон равнопеременного вращения:

Угловая скорость как векторная величина. Чтобы считать угловую скорость вектором, надо постулировать два правила, определяющие ее модуль и направление. За модуль вектора w естественно принять значение угловой скорости w. Что касается направления вектора w, то его целесообразно связать с осью вращения. Назовем осью вращения движущейся по окружности точки прямую, проходящую через центр окружности перпендикулярно к плоскости, в которой лежит эта окружность. Условимся вектор w располагать вдоль оси вращения и направлять его в сторону, определяемую правилом винта; если поворачивать головку винта с правой нарезкой в сторону движения точки по окружности, то поступательное движение винта укажет направление вектора w. Начало вектора и удобно совместить с центром окружности (хотя ее можно поместить в любое место оси). Если вдоль оси вращения отложить единичный вектор v в соответствии с упомянутым правилом винта, то вектор и можно будет записать так: Представление угловой скорости в виде вектора имеет смысл лишь потому, что опыт подтвердил применимость к введенным таким образом векторам правила векторного сложения: векторная сумма двух векторов угловой скорости, направленных вдоль пересекающихся осей, определяет направление оси результирующего вращения и значение его угловой скорости.

Угловое ускорение как векторная величина. Рассмотрим вначале движение точки по окружности, при котором ось вращения не меняет своего направления. В этом случае вектор угловой скорости w располагается вдоль одной и той же неподвижной прямой. Поскольку векторы лежат на одной прямой, то модуль изменения за промежуток времени ∆t вектора угловой скорости будет равен абсолютному значению разности величин угловых скоростей: Ясно также, что в этом случае вектор ориентирован по оси вращения. Следовательно, по оси вращения будет ориентирован вектор а значит, и вектор β мгновенного углового ускорения: Учитывая, что при неподвижной оси можно для модуля углового ускорения записать: Угловую скорость и угловое ускорение можно представить так: где v — ранее введенный уже единичный вектор, отложенный вдоль оси вращения.

Поиск по сайту: