|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Дифференциальные уравнения первого порядкаУравнения с разделяющимися переменными. Любое дифференциальное уравнение вида φ(x) dx = ψ(y) dy называется уравнением с разделенными переменными. Уравнение, которое приводится к виду φ(x) dx = ψ(y) dy, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Пример 1. Решить дифференциальное уравнение . Решение. Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Приведем его к виду φ(x) dx = ψ(y) dy: Если равны дифференциалы, то равны неопределенные интегралы . Отсюда получаем – общий интеграл и у = Сх – общее решение. Пример 2. Решить дифференциальное уравнение (х2 – 1)у/ + 2ху2 = 0 и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 1. Решение. (х2 – 1)dy = - 2ху2 dx . Таким образом, получаем общий интеграл у() = 1. Подставляем начальное условие у(0) = 1: 1(0 + С) = 1 С = 1. Отсюда получаем частный интеграл у() = 1. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Функция f(x, y) называется однородной функцией m-го измерения, если f(λx, λy) = . Дифференциальное уравнение вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, где P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения, называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Уравнение P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 можно привести к виду у/ = f(x, y), где f(x, y) – однородная функция нулевого измерения. С помощью замены y = ux, где u – новая неизвестная функция, уравнение P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Пример 3. Решение. Так как является однородным уравнением. Сделав замену y = ux, получим
Линейные уравнения первого порядка. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида a1(x)y/ + a0(x)y = b(x) или y/ + p(x)y = q(x). Уравнение вида y/ + p(x)y = уnq(x), где n ≠ 0, n ≠ 1, называется уравнением Бернулли. Для решения линейного уравнения можно применить подстановку y = uv, y/ = u/v + uv/, где u и v – функции от х. Тогда уравнение y/ + p(x)y = q(x) примет вид u/ + p(x)uv + uv/ = q(x), u/ + (p(x)uv + uv/) = q(x), u/ + u(p(x)v + v/) = q(x). Если потребовать, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. p(x)v +v/ = 0, то из этого уравнения можно найти v, затем найдем u, а, следовательно, из y = uv найдем у. Пример 4. . Решение. Это линейного уравнение первого порядка, где p(x) = , q(x) = . Применяем подстановку y = uv, y/ = u/v + uv/, получаем u/v + uv/ uv = , u/v + (uv/ uv) = , u/v + u(v/ v) = . Приравниваем к нулю выражение в скобках, находим функцию v: v/ v = 0 v/ v v ln = 2ln v = x2. Пример 5. Решение. Сделав замену y = uv, y/ = u/v + uv/, получим u/v + uv/ = Сгруппируем вторе слагаемое с третьим: u/v + u(v/ )= . Приравнивая к нулю выражение в скобках, находим функцию v: v/ = 0 ln = 2ln . Подставив v в u/v + u(v/ )= , находим u: . Отсюда .
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |