В делах спорных суждения различны, но истина всегда одна

Тема 1.2. Высказывания и операции над ними

Ф. Петрарка [13]

Понятие высказывания – одно из ключевых в логике. Как таковое, оно не допускает точного определения, в равной мере приложимого в разных ее разделах. Ясно, что всякое высказывание описывает определенную ситуацию, что-то утверждая или отрицая о ней, и является истинным или ложным.

Итак, что такое высказывание? Это повествовательное предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно.

Высказывание считается истинным, если даваемое им описание соответствует реальной ситуации, и ложным, если не соответствует ей. «Истина» и «ложь» называются истинностными значениями высказывания. Например, высказывание «Дважды два четыре» будет истинным, а высказывание «Дважды два равно три» будет ложным.

Из отдельных высказываний разными способами можно строить новые высказывания. Так, из высказываний «На улице сегодня дует ветер» и «На улице сегодня идет дождь» можно образовать более сложные высказывания «На улице сегодня дует ветер и идет дождь», «На улице сегодня либо дует ветер, либо идет дождь», «Если на улице сегодня идет дождь, то на улице сегодня дует ветер» и т.п. Слова «и», «или», «если, то» и т.п., служащие для образования сложных высказываний, называются логическими связками (операциями).

Высказывание называется простым, если оно не включает других высказываний в качестве своих частей. Например, высказывания «Вчера шел снег» и «Сегодня идет дождь» простые.

Высказывание является сложным, если оно получено с помощью логических связок из нескольких более простых высказываний.

Перейдем теперь к рассмотрению наиболее важных способов построения сложных высказываний.

Отрицание – логическая связка, с помощью которой из данного высказывания получается новое, причем, если исходное высказывание истинно, его отрицание будет ложным, и наоборот. Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и отрицания, выражаемого обычно словами «не», «неверно, что».

Приведем примеры отрицания высказывания «Вчера шел снег»: «Неверно, что вчера шел снег», «Вчера не шел снег». Отрицательное высказывание является, таким образом, сложным высказыванием: оно включает в качестве своей части отличное от него высказывание.

В результате соединения двух высказываний при помощи слова «и», мы получаем сложное высказывание, называемое конъюнкцией. Высказывания, соединяемые таким способом, называются членами конъюнкции. Например, если высказывания «Сегодня идет дождь» и «Вчера шел снег» соединить связкой «и» получится конъюнкция: «Сегодня шел дождь и вчера шел снег». Конъюнкция истинна только в случае, когда оба входящих в нее высказывания являются истинными; если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.

Соединяя два высказывания с помощью слова «или», мы получаем дизъюнкцию этих высказываний. Высказывания, образующие дизъюнкцию, называются членами дизъюнкции.

Слово «или» в повседневном языке имеет два разных смысла. Иногда оно означает «одно или другое, или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». Высказывание «В этом сезоне я ходил на «Пиковую даму» или на «Аиду» допускает возможность двукратного посещения оперы. В высказывании же «Он учится в Московском или в Саратовском университете» подразумевается, что упоминаемый человек учится только в одном из этих университетов, то есть либо в Московском университете, либо в Саратовском университете. Мы будем подразумевать первый смысл данного слова.

Дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно, и ложна, только когда оба ее члена ложны.

Очень важную роль при логическом доказательстве играют условные высказывания. Условное высказывание находит очень широкое применение во всех сферах рассуждения. В логике оно представляется, как правило, посредством импликации. При этом логика проясняет, систематизирует и упрощает употребление связки «если..., то...», освобождает его от влияния психологических факторов. Например, сложно высказывание «Если на улице моросит дождь, то я останусь дома» образовано посредством простых высказываний «На улице моросит дождь» и «Я останусь дома» и связки импликации «если…, то…».

Утверждая импликацию, мы утверждаем, что не может случиться, чтобы ее посылка была истинной, а следствие – ложным.

С импликацией тесно связана эквивалентность, называемая иногда «двойной импликацией».

Эквивалентность – сложное высказывание «А, если и только если В», образованное из высказываний А и В и разлагающееся на две импликации: «если А, то В» и «если В, то А». Например: «Треугольник является равносторонним, если и только если он является равноугольным». Термином «эквивалентность» обозначается и связка «..., если и только если...», с помощью которой из двух высказываний образуется данное сложное высказывание. Вместо «..., если и только если...» для этой цели могут использоваться «... в том и только том случае, когда... «, «... тогда и только тогда, когда...» и т.п.

Если логические связки определяются в терминах истины и лжи, эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда оба составляющие ее высказывания имеют одно и то же истинностное значение, т.е. когда они оба истинны или оба ложны. Соответственно, эквивалентность является ложной, когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а другое ложно. [14]

Систематизируем все выше сказанное в таблицы.

Таблица1. Общие понятия операций над высказываниями

№	Название	Символ	Читается	Определение
	Конъюнкция		А и В	– это высказывание С, которое истинно тогда и только тогда, когда истины оба высказывания А и В.
	Дизъюнкция		А или В	– это высказывание С, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно высказывание А или высказывание В.
	Импликация		Если А, то В	– это такое высказывание С, которое ложно тогда и только тогда, когда А истина, В ложно, и истинно в остальных случаях.
	Эквиваленция	A~B	А тогда и только тогда, когда В	– это такое высказывание С, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания имеют одинаковые значения, и ложны в остальных случаях.
	Отрицание		Не А Не верно, что А	– это высказывание С, которое истинно, если А ложно, и ложно, если А истинно.

Таблица 2. Таблица истинности для каждой из операций.

А	В				A~B
и	и	и	и	и	и	л
и	л	л	и	л	л
л	и	л	и	и	л	и
л	л	л	л	и	и

Задачи

32. Определите, является предложение высказыванием или нет. Ответ обоснуйте.

1. Москва – столица США.

2. Треугольник АВС подобен треугольнику A’B’C’.

3. Студент группы 2ТП.

4. 2+3-1.

5. Кислород – газ.

6. Каша – вкусное блюдо.

7. Наступили каникулы!

8. х= 2.

9. Математика – интересный предмет.

10. Железо тяжелее свинца.

11. Да здравствуют музы!

12. Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

13. Ты получаешь стипендию?

14. Сегодня плохая погода.

15. Дует ветер.

16. Ты поедешь завтра домой?

17. Сходи завтра в библиотеку.

18. 2-3 = 5.

19. В романе А.С. Пушкина «Евгений Онегин» 136245 букв.

20. Река Ангара впадает в озеро Байкал.

21. Через некоторое время пойдет снег.

22. Сегодня при входе в колледж давали апельсины.

23. Самый вкусный в мире напиток – квас.

24. Я хорошо танцую.

25. В нашей группе учатся только юноши.

26. Через час вам подарят букет роз.

27. Евгений Плющенко – олимпийский чемпион по фигурному катанию.

28. Завтра в городе пойдет снег.

29. Гагарин – первый человек, полетевший в космос.

30. Лев Лещенко – мер Москвы.

31. Луна – спутник планеты Земля.

32. В русском алфавите 35 букв.

33. Стоимость компьютера в 20 000 рублей – это дешево.

34. 2 х- 1=0.

35. Ты хочешь быть отличником?

33. Придумайте свое простое высказывания.

34. Определите, сложным или простым является высказывание. Если вы считаете, что высказывание сложное, то назовите логических связки, с помощью которых оно образовано.

а) Вася любит мороженное «Мальвина» и «Спортивное».

б) Я не болен, вчера немного простудился.

в) Лилии, розы, маргаритки – вот любимые цветы Наташи.

г) Может, после уроков я пойду гулять, а может, поеду на экскурсию.

д) Когда вы сдадите все вступительные экзамены на «отлично», можете не сомневаться, что вы поступите.

е) Коля любит все шоколадные конфеты, у которых начинка мармеладная.

ж) Я сделаю сегодня домашнее задание, если возьму учебник.

з) Мама заказала мне купить в магазине либо фломастеры, либо маркеры.

и) Мне разрешают гулять родители, если и только если я делаю все уроки.

к) Костя не занимается волейболом и баскетболом.

35. Прочтите высказывания, составленные с помощью логических связок из ниже приведенных простых высказываний: