Найдем теперь наиболее вероятное значение координаты частицы

. Плотность вероятности нахождения частицы в яме определяется квадратом модуля волновой функции . Поскольку внутри ямы (см. (4.60а)) , то решая задачу на экстремум, получаем

Отсюда следует, что , где . В силу того, что , в полученном решении следует оставить только значение . Таким образом,

Учитывая связь между и (4.78), приходим к окончательному выражению

Найдем теперь вероятность нахождения частицы в области . Обозначим через и вероятности нахождения частицы соответственно внутри и вне ямы. С учетом вида волновых функций (4.60a) (4.60b)

где

Соотношение между амплитудами и определим из условия сшивки волновых функций при

С учетом того, что и, следовательно, , получаем

Отношение вероятностей и равно

Принимая во внимание, что , для получаем

Полученный результат означает, что с достаточно высокой вероятностью ~ 15% частица находится вне потенциальной ямы.

Задача 4.9. Частица массы , двигаясь слева направо, падает на прямоугольную потенциальную яму глубиной (рис.4.19). Считая, что полная энергия частицы известна, найдите ширину ямы , при которой коэффициент отражения частицы от ямы максимален.

Решение: Отражение частицы от потенциальной ямы представляет собой чисто квантовый эффект. Классическая частица не может отразиться от потенциальной ямы, в области ямы лишь возрастает ее кинетическая энергия и скорость. Квантовая частица испытывает отражение от ямы в силу того, что она обладает волновыми свойствами и, подобно волне, может отражаться от любых препятствий.

Поскольку коэффициент отражения и коэффициент прохождения связаны соотношением , то максимум отражения будет наблюдаться в том случае, когда коэффициент прохождения минимален. Согласно (4.74) коэффициент прохождения имеет вид

где . Минимум для различных значений ширины ямы реализуется при условии , т.е. при

Отсюда находим ширину ямы , при которой отражение частицы будет максимальным

Поиск по сайту: