Частица в яме конечной глубины

В разделе 4.2 мы рассмотрели движение частицы в потенциальных ямах с бесконечно высокими стенками. Переход к анализу движения частицы в яме конечной глубины будем проводить поэтапно и сначала рассмотрим частицу в потенциальной яме с одной бесконечно высокой стенкой (рис.4.18). Такая задача представляет практический интерес, поскольку потенциальная энергия двух частиц, между которыми действуют силы притяжения, например, двух атомов, образующих молекулу, по виду близка к рассматриваемой модели.

Рис. 4.18.

Одномерная яма с одной бесконечно высокой стенкой. Рассмотрим частицу, движущуюся в одномерной потенциальной яме вида

При меньше 0 потенциальная энергия частицы бесконечна и волновая функция , как мы уже знаем, обращается в нуль. Поэтому уделим основное внимание при решении данной задачи исследованию движения частицы в области .

Обозначим цифрой I область , а цифрой II - область . Рассмотрим сначала случай, при котором полная энергия частицы , т.е. будем считать, что частица находится в потенциальной яме. Уравнение Шредингера (4.6) в области I имеет вид

(4.56)

а в области II

(4.57)

Вводя обозначения

(4.58)

приводим уравнения (4.56) и (4.57) к виду

(4.59a)

(4.59b)

Решая уравнения (4.59), находим и

(4.60a)

(4.60b)

Воспользуемся условиями, налагаемыми на волновую функцию. Поскольку волновая функция должна быть всюду конечной, а первое слагаемое в (4.60b) при неограниченно возрастает, то необходимо потребовать, чтобы коэффициент был равен нулю, т.е. чтобы .

Перейдем теперь к анализу граничных условий. Непрерывность волновой функции на левой границе ямы приводит, как мы уже видели в разделе 4.2, к соотношению , откуда следует, что . Условие сшивки волновых функций и их производных при дает следующую систему уравнений

(4.61)

Разделив первое уравнение (4.61) на второе, приходим к соотношению

(4.62)

которое и определяет энергетический спектр частицы в яме.

Ввиду того, что уравнение (4.62) является трансцендентным, получить значения энергии частицы в явном виде не удается. Покажем с помощью графического метода, что энергетический спектр частицы, определяемый соотношением (4.62) с учетом (4.58), является дискретным, т.е. энергия частицы в яме квантуется.

Уравнение (4.62) легко преобразуется к виду

(4.63)

Построим графики левой и правой частей уравнения (4.63) как функции параметра . Точки пересечения синусоиды с прямой (рис.4.19)

Рис. 4.19.

определяют корни уравнения (4.63), отвечающие искомым значениям энергии частицы . Поскольку, согласно (4.62), , то будем выбирать только те значения параметра , которые удовлетворяют условию

где = 0, 1, 2, 3,... На рис.4.19 соответствующие области значений на оси абсцисс выделены жирной линией.

Приведенные графики показывают, что энергетический спектр частицы является дискретным. Чем больше глубина и ширина потенциальной ямы, тем ниже наклон прямой в правой части уравнения (4.63) и тем больше точек пересечения имеет прямая с синусоидой. Следовательно, тем больше энергетических уровней помещается в потенциальной яме.

Найдем условия, при которых в яме существует хотя бы один энергетический уровень. В этом случае коэффициент, определяющий наклон прямой в правой части уравнения (4.63), должен удовлетворять неравенству

Выражая отсюда , получаем

(4.64)

Обсудим это соотношение подробнее. Именно при выполнении этого условия уравнение Шредингера для частицы в яме имеет решение, т.е. в яме имеется хотя бы один энергетический уровень. Говорят, что в этом случае существует связанное состояние частицы в яме. Отметим, что в левую часть неравенства (4.64) входят только параметры потенциальной ямы - ее ширина и глубина , а правая часть для рассматриваемого типа частиц (значения ) представляет собой константу.

Если потенциальная яма недостаточно глубока или недостаточно широка, так что условие (4.64) не выполняется, то уравнение Шредингера для частицы в яме не имеет решения, или, как говорят, в яме не помещается ни одного энергетического уровня. В физике такие случаи достаточно хорошо известны. Так, например, между двумя нейтронами или между двумя протонами действуют ядерные силы притяжения, однако связанного состояния двух нейтронов или двух протонов в природе не существует - потенциальная яма, соответствующая взаимодействию этих частиц, имеет недостаточную ширину и глубину.

Сила взаимодействия между протоном и нейтроном лишь незначительно превышает силу взаимодействия для двух протонов или двух нейтронов, однако этого превышения оказывается достаточно, чтобы появилось связанное состояние нейтрона и протона - дейтрон. В потенциальной яме, характеризующей взаимодействие протона с нейтроном, помещается лишь один энергетический уровень. Это означает, что дейтрон всегда находится в основном состоянии и не имеет возбужденных состояний.

Вернемся к анализу волновых функций данной задачи. При , как уже отмечалось, . В области I, т.е. в потенциальной яме, волновая функция имеет вид

что означает, что уравнение Шредингера, как и в случае ямы с двумя бесконечно высокими стенками, имеет осциллирующее решение. Наибольший интерес представляет вид волновой функции в области II

Волновая функция вне потенциальной ямы отлична от нуля и спадает с расстоянием по экспоненциальному закону, а это означает, что существует отличная от нуля вероятность пребывания частицы вне потенциальной ямы (см. задачу 4.7). Соотношение между константами и находятся из условия нормировки волновой функции. Качественный вид волновых функций для данной задачи приведен на рис. 4.20.

Рис. 4.20.

Рассмотрим теперь случай . Уравнение Шредингера в областях I и II, соответственно, имеет вид

(4.65a)

и

(4.65b)

где

Решение уравнения (4.65a) с учетом условия на границе ямы есть

(4.66)

Решение уравнения (4.65b) представим в виде

(4.67)

Производя сшивку волновых функций и их производных в точке , приходим к следующей системе уравнений

Решая эту систему относительно амплитуд и , получаем их выражения через амплитуду

(4.68)

Отметим, что соотношения (4.68) определяют амплитуды и при любых значениях и , т.е. при любом значении энергии частицы

. Это означает, что при частица имеет непрерывный спектр энергии.

Обсудим вид волновых функций (4.66) и (4.67). Каждая их них представляет собой сумму двух волн де Бройля: волны , распространяющейся слева направо, и волны , распространяющейся слева направо. Пришедшая из волна (второе слагаемое в (4.67)) на границе ямы частично отражается, давая вклад в первое слагаемое в (4.67), и преломляется (второе слагаемое в (4.66)). Далее волна отражается от стенки при (первое слагаемое в (4.66)), опять преломляется на границе ямы , давая вклад в первое слагаемое в (4.67), и уходит на бесконечность.

Потенциальная прямоугольная яма конечной глубины. Рассмотрим частицу, находящуюся в области потенциальной прямоугольной ямы конечной глубины (рис.4.20). Такая модель качественно описывает

Рис. 4.21.

движение заряженной частицы, например электрона, вблизи атома и применяется в атомной физике и физике твердого тела. Пусть потенциальная энергия частицы имеет вид

Рассмотрим сначала случай , т.е. будем считать, что частица находится в яме. Уравнение Шредингера в областях I и III (вне потенциальной ямы) записывается в виде

Вводя обозначение , получаем

Решения этого уравнения имеют вид

Для того, чтобы волновая функция была ограничена, нужно потребовать, чтобы и .

В области II, т.е. внутри потенциальной ямы, уравнение Шредингера

имеет осциллирующее решение , где .

Таким образом, волновые функция частицы для данной задачи имеют вид

(4.69)

Сшивая волновые функции и их производные в точках и , получаем два соотношения

которые легко привести к виду

Исключая из этих двух соотношений , приходим к выражению

(4.70)

которое и определяет вид энергетического спектра частицы в яме. Отметим, что отрицательные значения и не удовлетворяют условию задачи, поскольку левая часть(4.70) неотрицательна.

В силу того, что аргумент функции не может превосходить единицу,

значения ограничены величиной .

Покажем с помощью графического метода, что энергия частицы в яме квантуется, т.е. энергетический спектр, определяемый уравнением (4.70), имеет дискретный характер. Для этого построим графики левой и правой частей уравнения (4.70) в зависимости от (рис.4.22). График левой

Рис. 4.22.

части представляет собой прямую линию , наклон которой возрастает с шириной ямы . Графики правой части уравнения (4.70) для значений представлены на рисунке кривыми , и . Точки пересечения прямой с кривыми определяют корни уравнения (4.70). Таким образом, спектр значений , а, следовательно, и спектр связанных с ним значений энергии частицы будет дискретным. Чем больше ширина ямы , т.е. чем круче идет прямая , тем с большим числом кривых она пересекается, следовательно тем больше энергетических уровней находится в яме. При в яме может находиться энергетических уровней, т.е. может существовать связанных состояний частицы в яме.

При уменьшении глубины ямы величина , а, следовательно, и число уровней в яме уменьшается. При , т.е. при

в яме остается лишь один энергетический уровень. Подчеркнем, что в прямоугольной потенциальной яме конечной глубины всегда имеется по крайней мере один энергетический уровень, т.е. одно связанное состояние частицы.

Легко убедиться, что энергетический спектр (4.70) при бесконечном возрастании глубины ямы, т.е. при , переходит в полученный ранее спектр для одномерной ямы с бесконечно высокими стенками (4.16).

Качественный вид волновых функций (4.69) для данной задачи приведен на рис. 4.23. Внутри потенциальной ямы волновые функции

Рис. 4.23.

имеют вид синусоид, а вне ямы убывают по экспоненциальному закону. Отметим, что для состояний с большей энергией (и, следовательно, меньшей разностью ) волновая функция имеет большие значения на краях ямы и медленнее спадает по мере удаления от ямы.

Перейдем теперь к анализу случая, когда энергия частицы . Уравнение Шредингера (4.6) в областях I, II и III имеет следующие решения

(4.71)

где

(4.72)

Согласно (4.71) каждая из волновых функций представляет собой сумму двух волн де Бройля: волны, идущей в направлении , и волны, идущей в обратном направлении. Будем для определенности считать, что частица приближается к яме со стороны отрицательных значений , т.е. движется слева направо. В этом случае второе слагаемое в выражении для должно отсутствовать, поскольку оно соответствует движению частицы к яме из , т.е. справа налево. Следовательно коэффициент нужно положить равным нулю.

Первое слагаемое в характеризует волну, падающую на яму из , второе слагаемое - волну, отраженную от ямы. Первое слагаемое в описывает волну, преломленную на границе , а второе слагаемое - волну, отраженную от границы . Волновая функция содержит только одно слагаемое, соответствующее проходящей волне. Будем, как и прежде, считать, что амплитуда падающей волны .

Условия сшивки волновых функций и их производных в точках и приводят к следующей системе уравнений

решение которой позволяет найти амплитуды , , и . Поскольку данная система уравнений имеет решение при любых значениях параметров и , т.е. при любых значениях энергии , то это означает, частица обладает непрерывным энергетическим спектром.

Для амплитуды прошедшей волны получаем следующее выражение

Коэффициент прохождения , характеризующий вероятность прохождения частицы над ямой, определяется выражением (4.37). Векторы плотности потока вероятности для падающей и прошедшей волны, согласно (4.36), (4.37), (4.70), имеют вид

Таким образом,

(4.73)

Подставляя в (4.73) значения и из (4.71), получаем

(4.74)

Из (4.74) следует, что коэффициент прохождения зависит от соотношения между энергией частицы и глубиной потенциальной ямы и в общем случае оказывается меньше единицы. Это означает, что даже при существует отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от потенциальной ямы. Данное явление, полностью отсутствующее в классической физике, объясняется наличием у частицы волновых свойств.

При коэффициент прохождения обращается в единицу, т.е. частица не испытывает отражения на границах ямы. Это условие выполняется при , т.е. при значениях энергии частицы

(4.75)

Проведенный анализ дает квантово-механическое объяснение обсуждавшемуся в гл.2 эффекту Рамзауэра. Напомним, что в опыте Рамзауэра наблюдалась прозрачность атомов инертных газов для пучка электронов при определенном значении энергии электронов. Конечно же, более адекватным опыту Рамзауэра было бы рассмотрение движения электрона в области трехмерной потенциальной ямы. Однако, уже решение одномерной задачи позволяет не только качественно объяснить результаты опыта, но и получить определенные количественные соотношения.

Условие можно представить в виде

(4.75)

где - дебройлевская длина волны частицы внутри ямы. Это условие определяет погашение за счет интерференции волн, отраженных от двух границ ямы. Аналогичное явление, наблюдаемое в волновой оптике, называется просветлением оптики.

Задача 4.8. Частица массы находится в одномерной потенциальной яме с одной бесконечно высокой стенкой (рис.4.17). Глубина ямы равна , ширина - . Считая, что у частицы в яме имеется лишь один энергетический уровень , найдите: