Условие задачи

Стержень массой 70 кг вращается без начальной скорости вокруг своей оси, которая проходит через конец стержня. На него действуют пара сил с величиной момента М равной 30 Дж и моментом сопротивления модуль которого является функцией угловой скорости (k•ω) Дж, где k=3,0 кг м². Сколько оборотов сделает стержень до того, как его угловая скорость станет равной 5 рад/с, если длина стержня 0,25 м.

2. Краткое теоретическое содержание

2.1. О пределение основных величин, процессов, явлений, объектов, использованных при выполнении данного расчетно-графического задания:

Ось вращения тела – прямая, на которой лежат центры окружностей, по которым движутся точки твердого тела при его вращении. Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

Угловая скорость - векторная величина, характеризующая быстроту вращения, ориентацию оси вращения в пространстве и направление вращения. Модуль угловой скорости определяется формулой:

Единица угловой скорости [рад/с].

Угловое ускорение – векторная величина, характеризующая изменение угловой скорости со временем.

Момент инерции, величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. В механике различают М. и. осевые и центробежные. Осевым М. и. тела относительно оси z называется величина, определяемая равенством:

где m_i — массы точек тела, h_i — их расстояния от оси z, r — массовая плотность, V — объём тела. Величина I_z является мерой инертности тела при его вращении вокруг оси.

Пара сил – две равные по модулю и противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой.

Плечо – кратчайшее расcтояние от оси вращения до линии действия силы.

2.2 Законы, соотношения, использованные при решении

Второй закон Ньютона для вращательного движения: , где М – момент силы, Н•м; I – момент инерции, кг•м²; ε – угловое ускорение, рад/с².

.

Число оборотов равно: , где N – число оборотов, φ – угол поворота, рад.

Модуль угловой скорости определяется формулой: где - модуль угловой скорости; - угол, на который поворачивается тело за промежуток времени .

Угловое ускорение вычисляется по следующей формуле:

Момент инерции тела:

Момент инерции стержня, ось вращения которого проходит через один с концов: .

Модуль момента силы равен: где l – плечо.

2.3. Пояснение ко всем величинам, входящим в формулы и соотношения:

- первая производная угла по времени; [ ]- рад.

- модуль углового ускорения; [ ]-рад/с .

- изменение угловой скорости за время ; [ ] - рад/с.

- первая производная угловой скорости по времени; [ ] - рад/с.

I - момент инерции тела; [I] - .

- расстояние от оси до элементарной массы;

- элементарная масса;

- момент силы; [ ] = Н*м.

- плечо; [ ] – м.

F – сила, действующая на тело; [F] = Н.

N – число оборотов, совершаемое телом.

4. Решение.

В основе данной расчетно-графической работы лежит вращательное движение стержня относительно неподвижной оси, которая проходит через его конец.

По закону вращательного движения

(1)

где - угловое ускорение, а I - момент инерции тела.

По определению угловое ускорение равно:

Где ω - угловая скорость.

По условию М_сопр равно k•ω .

Формулу (1) перепишем в виде:

T=I = = (1)

Из полученного уравнения (1) выразим угловую скорость :

По определению = ;

Проинтегрируем полученное уравнение; N-угловой путь

N= =

N= (2)

Сделаем подстановку (1) в (2)

N=

N= (

Момент инерции для стержня (ось проходит через его конец) равен:

где l – длина стержня. Окончательно имеем:

(

Потставим в формулу числовые значения и вычислим:

Вывод:

Стержень, массой 70кг вращающийся без начальной скорости вокруг оси, что проходит через его конец, сделает 0,149 оборота до того, как его угловая скорость станет равной 5 рад/с.

Поиск по сайту: