К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ (1 семестр)

СПИСОК ЗАДАЧ И ВОПРОСОВ

ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА

К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ (1 семестр)

В скобках указаны номера вопросов программы к экзамену,

к которым относится данный вопрос или данная задача

I. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1) Проиллюстрировать на диаграммах Венна свойства операций над множествами (1)

2) Почему соответствие «сопоставить числу такое число, тангенсом которого оно является» не задает функцию? (2)

3) Задача на сдвиг графика функции или отражение относительно одной из осей (3, 4)

4) Почему функцию арксинус нельзя считаь обратной к синусу? (5)

5) Может ли функция помекнять выпуклось на вогнутость в точке макисмума? (6)

6) Может ли монотонно возрастающая функция быть ограниченной? Может ли быть ограниченной сверху и не являться ограниченной снизу? (6)

7) Приведите пример функции, определенной на всей числовой прямой и не являющейся монотонной ни на каком промежутке (6).

8) Приведите пример функции, определенной на интервале (0;1), у которой не существует обратной ни на одном интервале вида (0; 1/n) (7)

Ответ: y = sin (1/x)

9) Приведите пример функции, меняющей выпуклость на вогнутость бесконечное число раз, но при этом монотонно возрастающей (и, значит, не имеющей экстремумов) (8).

Ответ: y = x + sinx

10) Приведите пример последовательности, заданной формулой. Напишите первые три члена этой последовательности, напишите десятый член (9).

11) Приведите пример последовательности (не являющейся числами Фиббоначи), которая задается рекуррентно, выпишите первые члены этой последовательности (9).

12) Приведите пример последовательности, которая может быть задана только словесно (9).

13) Может ли монотонно возрастающая последовательность быть неограниченной снизу? (9)

14) Приведите пример последовательности, которая не являетяс ограниченной ни снизу, ни сверху (9)

15) Верно ли, что если последовательность является ограниченной, то она имеет предел? (11)

16) Приведите примеры бесконечно малой и бесконечно большой последовательности, такеи что их произведение является а) бесконечно малой последовательностью; б) последовательностью, имеющей ненулевой предел; в) ограниченной последовательностью, не имеющей предела; г) бесконечно большой последовательностью (12).

17) Верно ли, что произведение ограниченных последовательностей является ограниченной последовательностью? Верно ли, что произведение бесконечно больших последовательностей является бесконечно большой последовательностью? (12)

18) Верно ли, что сумма бесконечно больших последовательностей является бесконечно большой последовательностью? (13)

19) Верно ли, что если сумма последовательностей имеет предел, а одно из слагаемых предела не имеет, то и другое слагаемое также не имеет предела? (14)

20) Верно ли, что если произведение последовательностей имеет предел, а один из сомножителей предела не имеет, то и другой сомножитель также не имеет предела? (14)

21) Приведите пример последовательностей, между членами которых имеет место строгое неравенство, а их пределы при этом равны (16)

22) Приведите пример последовательности, предел которой можно найти и с помощью теоремы о двух полицейских, и без ее помощи (17).

23) Докажите, что если функция имеет предел в данной точке, то в некоторой проколотой окрестности этой точки она должна быть ограниченной (18).

24) Доказать, что функция y = cosx не имеет предела на бесконечности (20)

25) Дана функция . При каком значении параметра а эта функция является непрерывной в точке ? (21)

26) Дана функция . При каком значении параметра а эта функция является непрерывной в точке ? (21)

27) Дана функция . При каком значении параметра а эта функция является непрерывной в точке ? (22)

28) Дана функция . При каком значении параметра а эта функция является непрерывной в точке ? (22)

29) Доказать, что функция . при любом значении параметра а является разрывной в точке ? (22)

30) Доказать, что функция . при любом значении параметра, является разрывной в точке ? (21)

31) Доказать, что функция, ограниченная на промежутке , не может иметь на этом промежутке наклонной асимптоты.

32) Доказать, что уравнение имеет решение на отрезке

33) Доказать, что уравнение имеет решение на отрезке

34) Доказать, по определению, что производная константы равна нулю. (32, 33)

35) Доказать по определению, что производная линейной функции равна . (32, 33).

36) Доказать, по определению, что функция не является дифференциремой в точке (32, 33)

37) Функция не является дифференциремой в точке . Что это означает графически? (31)

38) Является ли функция Дирихле дифференцируемой? (36)

39) На графике функции найти точку, в которой касательная параллельна прямой

40) Доказать, что ни в одной точке графика функции на интервале ни одна из касательных не является параллельной ни одной из касательных графика функции (37).

41) Доказать, что ни в одной точке графика функции ни одна из касательных не является параллельной ни одной из касательных графика функции (37).

42) Показать, что к отношению функций , где , не применимо правило Лопиталя при отыскании предела , а этот предел, тем не менее, существует (42).

43) Может ли функция не быть непрерывной в точке экстремума? (44)

44) Может ли функция не иметь производной в точке экстремума? (44).

45) Верно ли, что если в данной точке функция имеет производную, равную нулю, то эта точка является точкой экстремума?

46) Может ли функция в точке экстремума менять выпуклость на вогнутость?

47) Доказать, что уравнение имеет единственное решение на промежутке (46)

48) Доказать, что уравнение имеет единственное решение на промежутке (46)

49) Показать графически и пояснить аналитически, что уравнение не имеет решений.

50) Показать графически, что если функция на промежутке имеет наклонную касательную, не являющуюся горизонтальной, то она не может быть ограниченной на этом промежутке (48).

Поиск по сайту: