Основні відомості про системи числення

Лабораторна робота №1

Тема: СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ. ДВІЙКОВА АРИФМЕТИКА

Мета роботи: Вивчити різні системи числення, опанувати прийоми переведення чисел з однієї системи числення в іншу. Двійкова арифметика.

Форма звіту: виконання аудиторного і домашнього завдань.

Теоретичні відомості

Основні відомості про системи числення

Під системою числення розуміється спосіб представлення чисел за допомогою символів деякого алфавіту, званих цифрами і відповідні йому правила дії над числами.

Усі системи числення діляться на позиційні і непозиційні.

Непозиційними системами числення є такі системи, в яких кожна цифра зберігає своє значення незалежно від місця свого положення в числі.

Прикладом непозиційних систем числення є римська, староєгипетська, вавілонська, слов'янська системи. До недоліків таких систем відносяться наявність великої кількості знаків і складність виконання арифметичних операцій.

Система числення називається позиційною, якщо одна і та ж цифра має різне значення, що визначається місцезнаходженням цієї цифри в записі числа. Це значення міняється в однозначній залежності від позиції, займаною цифрою, за деяким правилом.

Прикладом позиційних систем числення є десяткова, двійкова, вісімкова, шістнадцятирична, факторіальна, урівноважена системи.

Назва позиційної системи числення визначається кількістю різних цифр, вживаних в цій системі числення, яке є основою системи числення (p).

Будь-яке число X в позиційній системі числення може бути представлене у вигляді полінома від основи p:

(1.1)

де X – дійсне число; – коефіцієнти або цифри числа ();
p – основа системи числення ( >1); i = – n,…–1, 0, 1, …, k; n и k цілі числа.

Представлення числа в p -ічній системі числення в цьому виді називається розгорнутою формою запису числа.

З іншого боку, будь-яке число в p -ічній системі числення можна записати у вигляді послідовності цифр, починаючи із старшої і відділяючи комою (точкою) цілу частину від дробової. Тобто представленню числа X в згорнутій формі відповідає запис:

.

У апаратній основі комп'ютера лежать двопозиційні елементи, які можуть знаходитися тільки в двох станах; один з них позначається 0, а інший - 1. Тому основною системою числення вживаною в комп'ютерній техніці є двійкова система. З метою скорочення розрядів для запису числа при виводі на екран комп'ютера використовують системи з основою, що являється цілому ступеню числа 2: вісімкову і шістнадцятиричну системи числення. Для представлення однієї цифри вісімкової системи числення використовується три двійкові розряди (тріада), шістнадцятиричною - чотири двійкові розряди (таб. 1).

Таблиця 1. Взаємозв'язок систем числення

1.1. Переведення цілого числа з р-ічної системи числення в десяткову здійснюється шляхом представлення числа у вигляді статичного ряду з основою тієї системи, з якої число переводиться, тобто число записується в розгорнутій формі. Потім підраховується значення суми, причому усі арифметичні дії здійснюються в десятковій системі.

Приклад 1.