Розв'язок

1) Математична модель прямої задачі:

x1 і x2 – число одиниць продукції видів Р1 и Р2 відповідно, запланованих до випуску

а) z=2x1+3x2 →max

б) х1+3х2≤18 2х1+х2≤16 x2≤5 3х1≤21

в) x1 ≥0, x2 ≥0

2) Розв'язок прямої задачі симплекс- методом.

Канонічна форма запису системи обмежень:

х₁+3х₂+х₃=18

2х₁+х₂+х₄=16

х₂+х₅=5

3х₁+х₆=21

Складемо симплекс- таблицю для розв'язку прямоі задачі.

Базис	Сбаз.	План							Σ	Θ	Хбаз.
х1	х2	х3	х4	х5	х6
х3 х4 х5 х6				1 0						-	x1={18;16;5;21;0;0}
Δj ≥0	-		-2	-3					-	-
х3 х4 х2 х6			1 3				-3 -1			5,5	x2={0;5;3;11;0;21}
Δj ≥0	-		-2						-	-
х1 х4 х2 х6					-2 -3		-3 5 9			- 4/3	x3={3;5;0;5;0;12}
Δj ≥0	-						-3		-	-
х1 х5 х2 х6					-1/5 -2/5 2/5 3/5	3/5 1/5 -1/5 -9/5			37/5 9/5 26/5 14/5	- - - -	x4={6;4;0;0;1;3}
Δj ≥0	-				4/5	3/5			-	-

X^*={6; 4; 0; 0; 1; 3} – оптимальний план прямоі задачі.

max z = 24, дійсно, z_max = 2´6+3´4=24.

Оптимальний план прямоі задачі передбачає виробництво обох видів продукції Р₁ и Р₂ у кількості відповідно 6 од. и 4 од.

Додаткові змінні х₃, х₄, х₅, х₆ характеризують залишок (невикористану частину) ресурсів відповідно S₁, S₂, S₃, S₄.

Оскільки х₅=1, х₆=3, те третій ресурс S₃ і четвертий ресурс S₄ використовуються в процесі виробництва продукції не повністю, а ресурси S₁ и S₂ – повністю (х₃=х₄=0). При такому оптимальному плані виробництва продукції та використанні ресурсів виробництво дістане найбільший прибуток у розмірі 24 у.о.

3 ) ЗЛП зводиться до розв'язку задачі, у якому кожній лінійній нерівності відповідає якась півплощина. Перетинання цих півплощин є опуклий багатокутник. Область припустимих розв'язків визначимо, побудувавши граничні прямі:

х₁ + 3х₂ = 18 (I); 2х₁ + х₂ =16 (II); х₂ = 5 (III); 3х₁ = 21 (IV); х₁ = 0 (V); х₂ = 0 (VI). Потім будуємо лінію нульового рівня 2х₁ + 3х₂ = 0 і градієнт N={2; 3}. Направлення градієнта вказує на направлення зростання цільової функції.

x₂

_{A B}

^C

D

O ¹ _E

0 1 x₁

Z_max = Z(C), де С –точка перетинання прямих I и II.

Координати точки С знайдемо, розв'язавши систему двох рівнянь:

х₁+ 3х₂ = 18

2х₁ + х₂ = 16; С (6; 8)

Z(C) =2´6 +3´4 = 24; Z_max = 24.

Z_min = Z(O), где О – початок системи координат.

Z(O) =2´0 +3´0 =0; Z_min = 0.

Отже, при оптимальному розв'язанні х₁ = 6, х₂ = 4, Z_max = 24, а при оптимальном решении х₁ = 0, х₂= 0, Z_min = 0.

Поиск по сайту: