Идеально упругое тело. Упругие напряжения и деформации. Закон Гука. Модуль Юнга. Энергия упругих деформаций твердого тела

Всякое реальное тело под действием приложенных к нему сил деформируется, т.е.изменяет свои размеры и форму. Если после прекращения действия сил тело принимает первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой. Упругие деформации наблюдаются в том случае, если сила, обусловившая деформацию, не превосходит некоторый предел, называемый пределом упругости.

Если после прекращения действия сил форма и размеры тела не восстанавливаются, говорят о неупругой деформации.

Рассмотрим пружину, имеющую в недеформированном состоянии длину , и приложим к ее концам равные по величине, противоположно направленные силы и (рис.7.19). Под действием этих сил пружина растянется на некоторую величину , после чего наступит равновесие. В состоянии равновесия внешние силы и будут уравновешены упругими силами, возникшими в пружине в результате деформации. При небольших деформациях удлинение пружины оказывается пропорциональным растягивающей силе:

(7.7)

- это закон Гука. Здесь - коэффициент жесткости пружины.

Упругие натяжения возникают во всей пружине. Любая часть пружины действует на другую часть с силой, определяемой формулой (7.7). Поэтому, если разрезать пружину пополам, та же по величине упругая сила будет возникать в каждой из половин при в два раза меньшем удлинении. Таким образом, при заданных материале пружины и размерах витка величина упругой силы определяется не абсолютным удлинением пружины , а относительным удлинением

При сжатии пружины также возникают упругие натяжения, но другого знака. Обобщим формулу (7.7) следующим образом. Закрепим один конец пружины неподвижно (рис.7.20), а удлинение пружины будем рассматривать как координату другого конца, отсчитываемую от его положения, отвечающего недеформированной пружине. Под F будем понимать проекцию на ось X упругой силы . Тогда можно записать:

. (7.8)

Из рис.7.20 видно, что проекция упругой силы на ось X и координата x всегда имеют разные знаки.

Однородные стержни ведут себя при растяжении или одностороннем сжатии подобно пружине. Если к концам стержня приложить направленные вдоль его оси силы и , действие которых равномерно распределено по всему сечению, то длина стержня получит положительное (при растяжении) или отрицательное (при сжатии) приращение (рис.7.21).Деформация стержня характеризуется относительным изменением длины:

Экспериментально доказано, что для стержней из данного материала относительное удлинение при упругой деформации пропорционально силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:

. (7.9)

Коэффициент пропорциональности a называется коэффициентом упругой податливости.

Величина, равная отношению силы к площади поверхности, на которую действует сила, называется напряжением. В результате взаимодействия частей тела друг с другом напряжение передается во все точки тела и весь объем стержня оказывается в напряженном состоянии. Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называется нормальным и обозначается s. Если сила направлена по касательной к поверхности, возникает тангенциальное напряжение .

В выражении (7.9) , поэтому .

Величина, обратная упругой податливости, называется модулем Юнга С учетом сказанного, . Модуль Юнга равен такому нормальному напряжению, при котором относительное удлинение было бы равно единице.

Решив записанные уравнения относительно F получаем: . Это закон Гука для стержня.

Рассмотрим энергию упруго деформированного тела. Для этого в сплошной упругой среде выделим элементарный объем настолько малый, что скорости движения и деформации во всех его точках одинаковы. Выделенный объем обладает кинетической энергией

где - масса объема, - его скорость. Разделив эту энергию на величину объема, получим объемную плотность кинетической энергии

(7.10)

Рассматриваемый элемент объема обладает потенциальной энергией упругой деформации. Чтобы найти эту энергию, представим выделенный объем в виде стержня с площадью поперечного сечения S и длиной . Один конец стержня закреплен, ко второму приложим растягивающую силу и будем медленно увеличивать ее от 0 до . Удлинение стержня будет при этом меняться от 0 до х. По закону Гука где - коэффициент упругости. Работа силы упругости в этом процессе

Эта работа идет на увеличение упругой энергии U. т.е. Плотность этой энергии

(2.10)

где - напряжение, Е – модуль Юнга, - относительная деформация, , и объемная плотность потенциальной энергии равна Объемная плотность полной энергии среды равна

Поиск по сайту: