Методика проведения совместных измерений

Часто искомые величины не могут быть представлены как явные функции измеряемых величин. В таких случаях измеряют величины, функционально связанные с измеряемыми величинами. Для двух неизвестных при линейной зависимости

, (4.3)

где a, b и l – непосредственно измеряемые величины, а другие две – искомые величины.

При решении задачи, сформулированной в п. 2, эти величины будут равны

Прежде всего, необходимо измерить постоянную величину b. Затем проводят измерения a_i, l_i в n различных точках помещения и получают ряд уравнений:

Если число условных уравнений меньше числа искомых величин, задача неразрешима. Если число условных уравнений равно числу искомых величин, то для каждой величины можно найти числовое значение. Однако они будут отягощены неизвестными погрешностями, так как, при измерении величин a_i, l_i были допущены неизвестные погрешности. Поэтому число условных уравнений в этой системе должно превышать число неизвестных. Эти уравнения называют условными.

Пусть x, y будут наилучшими значениями X,Y. Тогда эта система будет записана в виде:

где - остаточные погрешности условных уравнений, называемые невязками. В соответствии с принципом Лежандра искомые уравнения имеют наиболее достоверное решение, если . Поэтому дифференциал от равен

,

откуда

Это система нормальных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Так как

,

первое уравнение имеет вид

,

второе –

Введем обозначения Гаусса:

, , , , .

Тогда полученную систему нормальных уравнений можно записать в виде:

Решение этой системы уравнений позволяет оценить искомые величины X,Y.

где - главный определитель.

,

Определители получают из главного определителя путем замены столбца с коэффициентом при неизвестном x, y соответственно столбцом со свободными членами:

,

.

Полученные оценки подставляют в условные уравнения и вычисляют остаточные погрешности:

СКО условных уравнений (остаточных погрешностей) равно:

,

где n -число условных уравнений; m - число искомых величин.

СКО вычисленных значений искомых величин определяют по формулам

, , (4.4)

D₁₁, D₂₂ - алгебраические дополнения элементов определителя, получаемые путем удаления из определителя столбца и строчки, на пересечении которых находится элемент .

Поэтому , .

Учитывая введенные в начале измерений обозначения, получим искомые величины ; .

Вычислим СКО искомых величин. .

Для нахождения СКО для а_ср разложим функцию в ряд Тейлора, воспользовавшись только линейной частью ряда. Тогда

, отсюда .

Учитывая, что ; ,

.

Определив СКО полученных оценок, строят доверительные интервалы. Интервал, который с заданной (доверительной) вероятностью накрывает истинное значение измеряемой величины, называют доверительным.

При предположении, что экспериментальные данные распределены по нормальному закону, истинное значение измеряемой величины N с доверительной вероятностью, равной 0,95, находится в интервале

, где t - q - процентная точка распределения Стьюдента. Коэффициент зависит от числа степеней свободы (n-m) и выбранной доверительной вероятности представлен в Приложении 2.

Число степеней свободы принимают равным n-m= n- 2. Таким образом, с заданной доверительной вероятностью Р искомые значение величины лежит в интервале:

.

Чтобы оценить доверительный интервал для а_ср, следует найти эффективное число степеней свободы, равное

, (4.5)

где n_i - число измерений при измерении i - ой величины; - постоянные коэффициенты при измеряемых величинах .

В нашей задаче коэффициенты . Число измерений n_i для нахождения одинаково, т.е. n₁ = n₂.

4. Порядок выполнения работы

4.1. Измерить площадь ограждающих поверхностей S.

4.2. Наметить точки проведения измерений и провести измерения их расстояний до источника звука.

Поиск по сайту: