Рылов В.А. Свирюкова О.В

Р17 Решение задач по метрологии (Распределение Стьюдента)

Методические указания / В.А. Рылов; Свирюкова О.В. Федер. агентство по образованию, Моск. гос. ун-т инж. экологии, ф-т АИТ, каф. МАСК. — М.: МГУИЭ, 2010. — 24 с. ил.2, табл.1.

Методические указания содержат теоретические положения определения статистических моментов, применяемых при решении задач по обработке результатов измерений с оценкой доверительной вероятности и доверительного интервала. В указаниях приведены классификация основных типов задач, алгоритмы их решения, описание практических приемов вычисления статистических моментов с применением современных калькуляторов, снабженными статистическими функциями. Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по специальности 220301 и изучающих дисциплины «Метрология, общая теория измерений, технические измерения и приборы».

УДК 543.2 + 658.5

ББК 34.9

© В.А. Рылов, Свирюкова О.В. 2013

© МАМИ, 2013

При нормальном распредеении случайных погрешностей оценкой истинного (наиболее вероятного) значения измеряемой величины является среднее арифметическое значение результатов отдельных измерений

(1)

Оценкой дисперсии является среднее значение из квадратов отклонений результатов измерений от среднего арифметического

(2)

Дисперсия среднего арифметического в n раз меньше дисперсии результатов наблюдений (измерений)

; (3)

Оценка дисперсии результатов наблюдений при малом n является немного смещенной, поэтому точечную оценку дисперсии результатов наблюдений принято определять как

(4)

Оценка среднего квадратического отклонения результатов наблюдения определяется как

(5)

При вычислении среднего значения из квадратов отклонений результатов измерений от среднего арифметического удобно пользоваться следующим тождественным преобразованием; оно лежит в основе большинства машинных алгоритмов

(6)

Таким образом, следует знать и различать три формулы для оценки дисперсии:

1) определение оценки дисперсии результатов наблюдения

(7)

2) выражение оценки дисперсии через средние значения

(8)

3) выражение оценки дисперсии через суммы

(9)

Оценка дисперсии для среднего арифметического определяется по формуле

(10)

Если вычисление проводится вручную или с помощью простого калькулятора, то для упрощения (и повышения надежности) вычислений, можно «сдвинуть» результаты наблюдений на величину Т ₀.и ввести множитель α. Этот сдвиг учитывается при вычислении среднего арифметического значения и не влияет на вычисления оценки дисперсии.

В случае применения инженерного калькулятора, оснащенного статистическими функциями, достаточно вводить последовательно результаты измерений.

2. Алгоритмы решения задач

При всем многообразии задач, связанных с распределением Стьюдента, можно выделить 5 основных типов задач. Ниже представлены алгоритмы их решения

Тип 1.

Определите 99%-ный доверительный интервал для температуры термопары типа ТХА, если при измерении были получены следующие результаты: 31,56; 31,82; 31,73; 31,68; 31,49; 31,73; 31,74; и 31,72 мВ. Предполагается, что случайная величина распределена по закону Стьюдента

Алгоритм решения

; ;

Тип 2.

Яркостная температура слитка металла, измеренная квазимонохроматическим пирометром в пяти различных точках, оказалась следующей: 975, 1005, 945, 950 и 987°С. Полагаем, что действительная температура во всех точках одинакова, а разница в яркостных температурах вызвана случайной погрешностью. Оцените наиболее вероятное значение температуры слитка, а также доверительный интервал систематической погрешности, соответствует доверительной вероятности 0,9, предполагая, что погрешности распределены по нормальному закону.

Алгоритм решения

; ;

Тип 3.

Определите доверительный интервал для доверительной вероятности 0,9, если было проведено 10 измерений температуры: 975, 1005, 945, 950, 987, 967, 953, 980, 980, 990°С. Предполагается, что погрешности распределены по нормальному закону.

Алгоритм решения

; ;

Тип 4

По результатам 25 наблюдений был определен доверительный интервал отклонений измеряемого давления от наиболее вероятного его значения с доверительной вероятностью 0,7. Δ₁= 238,4¸243,7 кПа Определите доверительный интервал с доверительной вероятностью 0,95, полагая, что отклонения давления распределены по закону Стьюдента.

Алгоритм решения

(Давление обозначено через R для отличия от вероятности Р).

; ; ;

;

Тип 5

При 10 измерениях длины металлического стержня были получены следующие результаты: 358,59; 358,55; 358,53; 358,52; 358,51; 358,49; 358,48; 358,46; 358,45; 358,42 мм. Определите вероятность того, что погрешность среднего значения не выйдет за границы ±0,05мм. Предполагается, что погрешности распределены по нормальному закону

Алгоритм решения

; ;

3. Задачи на распределение Стьюдента

1. Яркостная температура слитка металла, измеренная квазимонохроматическим пирометром в пяти различных точках, оказалась следующей: 975, 1005, 945, 950 и 987°С. Полагаем, что действительная температура во всех точках одинакова, а разница в яркостных температурах вызвана случайной погрешностью. Оцените наиболее вероятное значение температуры слитка, а также доверительный интервал систематической погрешности, соответствует доверительной вероятности 0,9, предполагая, что погрешности распределены по нормальному закону.

2. Определите доверительный интервал для доверительной вероятности 0,9, если было проведено 10 измерений температуры: 975, 1005, 945, 950, 987, 967, 953, 980, 980, 990°С. Предполагается, что погрешности распределены по нормальному закону.

3. По результатам 25 наблюдений был определен доверительный интервал отклонений измеряемого давления от наиболее вероятного его значения с доверительной вероятностью 0,7. Δ₁ = 238,4¸243,7 кПа. Определите доверительный интервал с доверительной вероятностью 0,95, полагая, что отклонения давления распределены по закону Стьюдента.

4. Определите 99%-ный доверительный интервал для температуры термопары типа ТХА, если при измерении были получены следующие результаты: 31,56; 31,82; 31,73; 31,68; 31,49; 31,73; 31,74; и 31,72 мВ. Предполагается, что случайная величина распределена по закону Стьюдента

5. Определите 95%-ный доверительный интервал для температуры термопары типа ТХА, если при измерении были получены следующие результаты: 14,16; 14,20; 14,17; 14,20; 14,24; 14,15; 14,20; 14,22; 14,18; 14,18; 14,15; 14,17. Предполагается, что случайная величина распределена по закону Стьюдента

6. Определите 90%-ный доверительный интервал для температуры термопары типа ТХА, если при измерении были получены следующие результаты: 14,12; 14,10; 14,14; 14,12; 14,18; 14,08; 14,12; 14,10; 14,07; 14,09; 14,20; 14,10. Предполагается, что случайная величина распределена по закону Стьюдента

7. Определите 99%-ный доверительный интервал для температуры термопары типа ТХА, если при измерении были получены следующие результаты: 98,6; 97,8; 98,1; 97,8; 98,4; 98,3; 97,9; 98,0; 98,1; 98,2; 98,3; 98,3. Предполагается, что случайная величина распределена по закону Стьюдента.

8. Определите 99%-ный доверительный интервал для температуры термопары типа ТХА, если при измерении были получены следующие результаты: 40,16; 40,20; 40,17; 40,26; 40,24; 40,15; 40,20; 40,22; 40,18; 40,18; 40,15. Предполагается, что случайная величина распределена по закону Стьюдента.

9. Определите доверительный интервал для среднего значения температуры для доверительной вероятности 0,9, если было проведено 10 измерений температуры: 975, 1005, 945, 950, 987, 967, 953, 980, 980, 990°С. Предполагается, что погрешности распределены по нормальному закону.

10.Определите доверительный интервал для среднего значения температуры для доверительной вероятности 0,95, если было проведено 10 измерений температуры: 238,39, 238,12, 237,92, 237,80, 237,21, 237,65, 236,61, 237,59, 237,58, 237,57. Предполагается, что погрешности распределены по нормальному закону.

11 Определите доверительный интервал для среднего значения температуры для доверительной вероятности 0,99, если было проведено 10 измерений температуры: 237,56; 237,55; 237,54; 237,50; 237,48; 237,39; 237,28; 237,16; 237,04; 236,75. Предполагается, что погрешности распределены по нормальному закону.

12. Определите доверительный интервал для среднего значения температуры для доверительной вероятности 0,95, если было проведено 10 измерений температуры: 97,8; 98,1; 97,8; 98,4; 98,3; 97,9; 98,0; 98,1; 98,2; 98,3. Предполагается, что погрешности распределены по нормальному закону.

13. Определите доверительный интервал для среднего значения температуры для доверительной вероятности 0,99, если было проведено 10 измерений температуры: (град.С): 14,10; 14,14; 14,12; 14,18; 14,08; 14,12; 14,10; 14,07; 14,09; 14,20. Предполагается, что погрешности распределены по нормальному закону.

14. При 10 измерениях длины металлического стержня были получены следующие результаты: 358,59; 358,55; 358,53; 358,52; 358,51; 358,49; 358,48; 358,46; 358,45; 358,42 мм. Определите вероятность того, что погрешность среднего значения не выйдет за границы ±0,05мм. Предполагается, что погрешности распределены по нормальному закону

15. При 10 измерениях длины металлического стержня были получены следующие результаты: 238,39; 238,12; 237,92; 237,80; 237,21; 237,65; 236,61; 237,59; 237,58; 237,57 мм. Определите вероятность того, что погрешность среднего значения не выйдет за границы ±0,04мм. Предполагается, что погрешности распределены по нормальному закону

16. При 10 измерениях длины металлического стержня были получены следующие результаты: 237,56; 237,55; 237,54; 237,50; 237,48; 237,39; 237,28; 237,16; 237,04; 236,75 мм. Определите вероятность того, что погрешность среднего значения не выйдет за границы ±0,06мм. Предполагается, что погрешности распределены по нормальному закону.

17. При 10 измерениях длины металлического стержня были получены следующие результаты: 40,16; 40,20; 40,17; 40,26; 40,24; 40,15; 40,20; 40,22; 40,18; 40,18; 40,15 мм. Определите вероятность того, что погрешность среднего значения не выйдет за границы ±0,04мм. Предполагается, что погрешности распределены по нормальному закону.

18. При 10 измерениях длины металлического стержня были получены следующие результаты: 14,17; 14,20; 14,24; 14,15; 14,20; 14,22; 14,18; 14,18; 14,15; 14,17 мм. Определите вероятность того, что погрешность среднего значения не выйдет за границы ±0,05мм. Предполагается, что погрешности распределены по нормальному закону

19. Яркостная температура слитка металла, измеренная квазимонохроматическим пирометром в пяти различных точках, оказалась следующей: (°С): 975, 1005, 945, 950 и 987. Полагаем, что действительная температура во всех точках одинакова, а разница в яркостных температурах вызвана случайной погрешностью. Оцените наиболее вероятное значение температуры слитка, а также доверительный интервал случайной погрешности, который соответствует доверительной вероятности 0,9, предполагая, что погрешности распределены по нормальному закону.

20. Яркостная температура слитка металла, измеренная квазимонохроматическим пирометром в пяти различных точках, оказалась следующей: (°С): 630,5; 628,7; 629,5; 628,8; 630,8. Полагаем, что действительная температура во всех точках одинакова, а разница в яркостных температурах вызвана случайной погрешностью. Оцените наиболее вероятное значение температуры слитка, а также доверительный интервал случайной погрешности, соответствует доверительной вероятности 0,95, предполагая, что погрешности распределены по нормальному закону.

21. Яркостная температура слитка металла, измеренная квазимонохроматическим пирометром в шести различных точках, оказалась следующей: (°С): 97,5; 94,8; 94,7; 95,2; 94,9; 95,3. Полагаем, что действительная температура во всех точках одинакова, а разница в яркостных температурах вызвана случайной погрешностью. Оцените наиболее вероятное значение температуры слитка, а также доверительный интервал случайной погрешности, соответствует доверительной вероятности 0,99, предполагая, что погрешности распределены по нормальному закону.

22. Яркостная температура слитка металла, измеренная квазимонохроматическим пирометром в шести различных точках, оказалась следующей: (°С): 94,7; 95,2; 94,9; 95,3; 95,1; 95,2. Полагаем, что действительная температура во всех точках одинакова, а разница в яркостных температурах вызвана случайной погрешностью. Оцените наиболее вероятное значение температуры слитка, а также доверительный интервал случайной погрешности, соответствует доверительной вероятности 0,95, предполагая, что погрешности распределены по нормальному закону.

23. Яркостная температура слитка металла, измеренная квазимонохроматическим пирометром в семи различных точках, оказалась следующей: (°С): 950, 987, 967, 953, 980, 980, 990. Полагаем, что действительная температура во всех точках одинакова, а разница в яркостных температурах вызвана случайной погрешностью. Оцените наиболее вероятное значение температуры слитка, а также доверительный интервал случайной погрешности, который соответствует доверительной вероятности 0,9, предполагая, что погрешности распределены по нормальному закону.

24. Яркостная температура слитка металла, измеренная квазимонохроматическим пирометром в семи различных точках, оказалась следующей: (°С): 975, 1005, 945, 950, 987, 967, 953. Полагаем, что действительная температура во всех точках одинакова, а разница в яркостных температурах вызвана случайной погрешностью. Оцените наиболее вероятное значение температуры слитка, а также доверительный интервал случайной погрешности, который соответствует доверительной вероятности 0,99, предполагая, что погрешности распределены по нормальному закону.

25. Яркостная температура слитка металла, измеренная квазимонохроматическим пирометром в семи различных точках, оказалась следующей: (°С): 97,8; 98,1; 97,8; 98,4; 98,3; 97,9; 98,0. Полагаем, что действительная температура во всех точках одинакова, а разница в яркостных температурах вызвана случайной погрешностью. Оцените наиболее вероятное значение температуры слитка, а также доверительный интервал случайной погрешности, который соответствует доверительной вероятности 0,8, предполагая, что погрешности распределены по нормальному закону.

4. Примеры оформления решения задач

I. Пример оформления решения задачи на распределение Стьюдента (вычисление вручную, в калькуляторе нет статистических функций)

Определите 99%-ные доверительные интервалы для температуры термопары типа ТХА при отдельных и многократных измерениях, если при измерении были получены следующие результаты: 31,56; 31,82; 31,73; 31,68; 31,49; 31,73; 31,74; и 31,72 мВ. Предполагается, что случайная величина распределена по закону Стьюдента.

Алгоритм решения

; ;

Решение

1. Внесем в таблицу данные результатов измерений и вычислим суммы отклонений ΣΔ T_i и квадратов отклонений Σ(Δ T_i ²).

	Ui мВ	Т 0 = 31,7 α = 0,1
i	Ti	Δ Ti= (Ti – T 0)	(Δ Ti) 2
	31,56	–1,4 α	1,56∙α2
	31,82,	1,2	1,44
	31,73	0,3	0,09
	31,68	–0,2	0,04
	31,49	–2,1	4,41
	31,73	0,3	0,09
	31,74	0,4	0,16
	31,72	0,2	0,04
n = 8		ΣΔ Ti = – 1,3 α	Σ(Δ Ti 2) = 7,83 α2

2. В качестве точечной оценки истинного значения измеряемой величины Q_T используем среднее арифметическое значение полученных результатов

мВ (11)

В качестве точечной оценки дисперсии можно применить среднее значение суммы квадратов отклонения полученных результатов от математического ожидания

(12)

Оценка дисперсии результатов наблюдений при малом n является немного смещенной, поэтому точечную оценку дисперсии результатов наблюдений принято определять как

(13)

Оценка дисперсии для среднего арифметического в n раз меньше и определяется по формуле

(14)

3. Используя результаты табличных данных, вычисляем точечную оценку дисперсии для отдельных результатов измерения

(мВ)² (15)

и точечную оценку дисперсии для среднего арифметического

(16)

Точечная оценка СКО для отдельного измерения составляет

мВ (17)

Точечная оценка СКО для среднего арифметического при 8 измерениях равна

мВ (18)

4. Для вычисления доверительного интервала воспользуемся таблицами распределения Стьюдента (Р = 0,99; k = 7)

t = 3,499 ~ 3,5 (19)

5. Вычисляем величину доверительного интервала для отдельного измерения

мВ (20)

и для среднего арифметического при 8 измерениях

мВ (21)

Ответ:

Величина доверительного интервала для отдельного измерении при доверительной вероятности Р = 0,99 составляет
U_T = 31,68 ± 0,36 мВ; и для среднего арифметического по результатам 8 измерений = 31,68 ± 0,13 мВ.

II Пример оформления задачи с использованием инженерного калькулятора, встроенного в РС.

Задача.

Яркостная температура слитка металла, измеренная квазимонохроматическим пирометром в семи различных точках, оказалась следующей: (°С): 975, 1005, 945, 950, 987, 967, 953. Полагаем, что действительная температура во всех точках одинакова, а разница в яркостных температурах вызвана случайной погрешностью. Оцените наиболее вероятное значение температуры слитка, а также доверительный интервал случайной погрешности, который соответствует доверительной вероятности 0,99, предполагая, что погрешности распределены по нормальному закону.

Алгоритм решения

; ;

Решение

1. В качестве оценки наиболее вероятного (истинного) значения температуры используем среднее арифметическое значение по результатам 7 измерений

(22)

Точечную оценку дисперсии результатов наблюдений определяем как

(23)

Оценка среднего квадратического отклонения результатов наблюдения равна

(24)

2. Для вычисления оценок и s_T воспользуемся калькулятором в компьютере

Последовательность действий:

– калькулятор – вид инженерный – выбираем режим статистических функций Sta; открывается дополнительное окно – Статистика

– вводим первое значение температуры 975 – Dat, в дополнительном окне отображается введенное значение и номер замера; последовательно вводим остальные 6 значений;

– выводим значение среднего арифметического – Ave

;

– выводим значение оценки СКО для результатов измерений – s

;

3. Оценка СКО для среднего арифметического в раз меньше и составляет

4. Для вычисления доверительного интервала воспользуемся таблицей распределения Стьюдента (Р = 0,99; k = n – 1 = 6)

t = 3,707 ~ 3,7;

t – безразмерный параметр (дробь Стьюдента);

5. Вычисляем величину доверительного интервала для среднего арифметического по результатам 7 измерений

°С

6. При оценке количества достоверных цифр следует учесть следующее

– измерения проводились с точностью до 1 °С;

– доверительный интервал составляет 30 °С.

С учетом этого для среднего арифметического значения следует принять

°С

Ответы:

Наиболее вероятное значение температуры слитка равно 969 °С;

Величина доверительного интервала для среднего арифметического по результатам 7 измерений при доверительной вероятности 0,99 составляет ± 30 °С

или краткий ответ: °С; Р = 0,99.

Примечание. При решении задачи с помощью калькулятора с встроенными статистическими функциями нужно знать вывод алгоритма вычисления s_T, приведенный в общих замечаниях.

5. Контрольные вопросы

1. Приведите примеры различных видов распределения случайных погрешностей

2. Как выглядит интегральная функция распределения погрешности при равномерном законе распределения

3. Как выражается вероятность попадания результатов наблюдений в заданный интервал через интегральную функцию распределения.

4. Как выражается вероятность попадания результатов наблюдений в заданный интервал через дифференциальную функцию распределения.

5. Что называется математическим ожиданием результатов наблюдений

6. Что характеризует первый начальный момент результатов наблюдений.

7. Что называется центральным моментом n-го порядка результатов наблюдений.

8. Что такое дисперсия результатов наблюдений, что она характеризует

9. Какую размерность имеет дисперсия результатов наблюдений

10. Что называется средним квадратическим отклонением результатов наблюдений

11. В чем разница между математическим ожиданием и средним арифметическим значением

6. Библиографический список

1. Общая теория измерений/К.П. Латышенко. – М.: МГУИЭ, 2012. – 364 с.

2. Бурдун Г.Д., Марков Б.Н. Основы метрологии. - М.: Изд-во стандартов, 1985.– 256 с.

3. Кузнецов В.А., Ялунина Г.В. Общая метрология.- М.: ИПК Изд-во стандартов, 2001. – 272 с.

4. Рудзит Я.Д., Плутахов В.И. Основы метрологии, точность и надежность в приборостроении. – М.: Машиностроение 1991

8. Содержание

1. Общие положения___________________________________3

2. Алгоритмы решения задач__________________________ _5

3. Задачи на распределение Стьюдента _________________ _7

4. Примеры оформления решения задач_________________ 11

5. Контрольные вопросы______________________________ 17

6. Библиографический список_________________________ 18

7 Приложение. Таблица распределения Стьюдента_______ 19

8. Содержание______________________________________ 20

Поиск по сайту: