Потери давления (напора) при турбулентном течении в трубах

Напомним, что рассмотрение закономерностей как ламинарного, так и турбулентного течения в трубах помимо познавательных имеет цели сугубо практические: получить соотношения, определяющие законы сопротивления в трубопроводных сетях и создающие возможность выполнения инженерных гидравлических расчетов. Для ламинарного течения эта задача решается с помощью формулы Хагена–Пуазейля. Из рассмотрения особенностей турбулентного течения становится ясным, что вследствие его чрезвычайной сложности получение аналогичного соотношения чисто теоретическим путем в настоящее время невозможно.

Как было показано, выражение для турбулентных касательных напряжений (напряжений Рейнольдса) имеет вид

Из соображений размерности можно утверждать, что существует связь между средней скоростью и касательным напряжением на стенке трубы вида

где k – коэффициент пропорциональности;

V – среднерасходная (средняя) скорость.

Аналогичная зависимость имеет место в определении так называемого коэффициента трения , причем в принятых обозначениях

С другой стороны, из условия динамического равновесия движущегося под действием постоянного перепада давления Δ p жидкого цилиндра длиной l в трубе диаметром d

и после подстановки в это выражение связи напряжения трения на стенке со средней скоростью, получим

или

В такой форме записи выражение имеет четкий физический смысл. Это так называемое динамическое давление потока, обусловленное средней скоростью, или кинетическая энергия потока, заключенная в единице объема.

Обозначим величину (соответственно получим, что ) и назовем ее коэффициентом гидравлического сопротивления, тогда

(причем из условия динамического равновесия ), либо, используя определение напора, для несжимаемой жидкости
(ρ = const)

Полученное соотношение носит название формулы Дарси–Вейсбаха и является, по существу, определением коэффициента гидравлического сопротивления λ.

Ранее отмечалось, что если в преобразованной формуле Хагена–Пуазейля обозначить величину буквой λ, то получается формула Дарси–Вейсбаха. В этом смысле формула Дарси–Вейсбаха может быть признана универсальной, т. е. пригодной как для ламинарного, так и для турбулентного течения.

Закон сопротивления для турбулентного течения, полученный с помощью полуэмпирических теорий, использующий логарифмический профиль скоростей в турбулентном ядре потока и хорошо подтвержденный экспериментально, был приведен в предыдущем разделе.

Зависимость

дает искомую связь λ = λ(Rе) в неявном виде, неудобном для использования. И. Никурадзе предложил пользоваться следующей степенной зависимостью:

графически представленной на рис. 9.1 и обеспечивающей хорошее совпадение с экспериментальными данными в широком диапазоне чисел Re. Также на рис. 9.1 приведена для сравнения зависимость , соответствующая широко используемой в гидравлике формуле Блазиуса. Отметим, что все кривые на рисунке построены в логарифмических координатах, т. е. в виде

Таким образом, криволинейные степенные зависимости в этих координатах представляются прямыми, причем в левом нижнем углу пунктиром показана прямая, соответствующая закону сопротивления при ламинарном движении.

Рис. 9.1

Результаты, представленные выше, относились в основном к движению в гладкой трубе со строго цилиндрической поверхностью. На практике приходится иметь дело с более или менее шероховатыми трубами и с неточной цилиндричностью внутренней поверхности – волнистостью.

Несколько идеализируя и обобщая понятие шероховатости, представим себе, что внутренняя поверхность трубы покрыта бугорками, имеющими вид зерен примерно одинакового размера. Условимся среднюю высоту бугорков шероховатости называть абсолютной шероховатостью, а отношение высоты бугорка к радиусу (или диаметру) трубы – относительной шероховатостью. В дальнейшем предполагается, что относительная шероховатость сравнительно невелика (не превышает 3–4 %).

Рассмотрение типичных для труб с зернистой шероховатостью экспериментальных данных, полученных И. Никурадзе в опытах с искусственной песочной шероховатостью и показанных на рис. 9.2, дает возможность сделать определенные выводы, а именно:

● относительная шероховатость не влияет на критическое число Re_кр перехода ламинарного режима в турбулентный; для различных относительных шероховатостей кривые сопротивления сходят с уже известной нам прямой для ламинарного режима при одном и том значении Re;

● переходный режим также почти не зависит от относительной шероховатости;

● чем меньше относительная шероховатость, тем в большем диапазоне чисел Рейнольдса наблюдается обычное турбулентное движение, соответствующее гладким трубам (зависимость Блазиуса);

● с возрастанием Re всегда наступает режим течения (при любой шероховатости), когда коэффициент сопротивления перестает зависеть от Re; причем чем меньше относительная шероховатость, тем при больших значениях числа Рейнольдса это происходит. При этом численные значения коэффициента сопротивления растут вместе с шероховатостью.

Рис. 9.2

Этим основным результатам можно дать наглядное теоретическое и истолкование, если сопоставить высоту бугорков шероховатости с толщиной ламинарного подслоя δ_л . Рассмотрим три случая.

Первый предельный режим: бугорки шероховатости погружены в ламинарный подслой, наличие этих бугорков не нарушает его ламинарности, обтекание их происходит без отрывов и вихреобразований. В этом случае с точки зрения гидравлического сопротивления нет разницы между гладкой и шероховатой трубами. Шероховатая труба является гидродинамически гладкой. Эксперименты показывают, что высота зерен Δ, образующих шероховатость, при этом удовлетворяет соотношению

где – динамическая скорость;

ν – коэффициент кинематической вязкости жидкости.

Коэффициент сопротивления

Второй предельный режим:бугорки шероховатости выходят за пределы ламинарного подслоя. Отрывное обтекание бугорков приводит к повышению сопротивления поверхности трубы из-за сопротивления их как плохо обтекаемых тел. Как известно, это сопротивление не зависит от Re и пропорционально квадрату скорости набегающего потока. Этот режим можно назвать режимом развитой шероховатости (квадратичным режимом сопротивления). При этом размеры зерен шероховатости Δ соответствуют величинам, определяемым как

а коэффициент сопротивления

λ = λ(Δ/ d).

Промежуточный режим: когда высота бугорков шероховатости имеет примерно ту же величину, что и толщина ламинарного подслоя (шероховатость и толщина ламинарного подслоя – величины одного порядка), при этом элементы шероховатости частично выступают из ламинарного подслоя. По отношению к этому режиму оба рассмотренных выше являются предельными. В этом случае гидравлическое сопротивление труб зависит и от числа Рейнольдса, и от шероховатости поверхности:

λ = λ(Δ/ d, Re),

а высота зерен шероховатости находится в диапазоне

Таким образом, каждому значению числа Рейнольдса при течении в трубе соответствуют определенные границы относительной шероховатости, в которых можно пользоваться теми или другими формулами. В частности, для режима развитой шероховатости в рамках полуэмпирической теории с использованием логарифмического профиля скоростей можно получить закон сопротивления (формула Никурадзе):

где R – радиус трубы;

Δ – высота зерен шероховатости.

Наряду с приведенными формулами для определения коэффициента гидравлического сопротивления разными исследователями к настоящему времени получены иные полу- или эмпирические соотношения, в достаточной степени удовлетворяющие практике. Так, Альтшуль, рассматривая турбулентный поток в трубе как единое целое, т. е. не выделяя в нем ламинарный подслой, получил зависимость для закона сопротивления, справедливую для всех трех зон турбулентного режима:

Однако очевидно, что для практического использования эта формула неудобна, поскольку величина λ входит в неявном виде. Поэтому, используя некоторые допущения, Альтшуль предложил приближенную формулу, дающую достаточно точные результаты для всех трех турбулентных режимов:

Если трубы достаточно гладкие и, следовательно, Δ/ d << 68/Re, то эта формула практически совпадет с эмпирической формулой Блазиуса для гладкостенного режима течения

В случае полного (развитого) режима шероховатости, а это обычно соответствует достаточно большим значениям числа Рейнольдса: Δ/ d >> 68/Re, и формула Альтшуля переходит в эмпирическое соотношение Шифринсона

для так называемой квадратичной зоны сопротивления.

Понятие средней высоты бугорков шероховатости Δ, которое мы использовали и которое фигурирует в приведенных формулах, недостаточно четко определено. Действительно очевидно, что на распределение скоростей около стенки и, следовательно, на гидравлическое сопротивление влияет не только средняя высота выступов, но и их форма и распределение вдоль обтекаемой поверхности. Поэтому на практике пользуются эквивалентной шероховатостью, под которой понимают такую высоту песчинок в опытах Никурадзе, которая создает сопротивление, равное (или эквивалентное) сопротивлению данного действительного трубопровода.

В заключение приведем наиболее удобные для практического использования расчетные формулы для коэффициента гидравлического сопротивления (законы сопротивления) во всех рассмотренных режимах течения в круглой трубе.

Режим течения	Границы зоны	Расчетные формулы
Ламинарный	Re < 2300	λ = 64/Re
Турбулентный, гладкостенный	4·103 < Re < 20
Турбулентный, промежуточный, с частичным проявлением шероховатости
Турбулентный, развитая шероховатость, квадратичный

Для промышленных труб с неравномерной шероховатостью в формулы, приведенные в таблице, следует подставлять значения эквивалентной шероховатости, которые можно найти в гидравлических справочниках с учетом технологии изготовления труб, материала стенок, времени их эксплуатации.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Одномерная модель течения вязкой

несжимаемой жидкости..................................... 3

2. Уравнение Бернулли для потока вязкой

несжимаемой жидкости..................................... 7

3. Режимы движения жидкости, их связь с гидравлическим

сопротивлением...........................................13

4. Ламинарное течение в круглых трубах......................16

5. Основные особенности турбулентных течений............... 21

6. Уравнения Рейнольдса для осредненного турбулентного

движения.................................................26

7. Полуэмпирические соотношения в теории турбулентности.... 32

8. Турбулентное течение вблизи твердой стенки................37

9. Потери давления (напора) при турбулентном

течении в трубах...........................................46

Учебное издание

КАЧАНОВ Игорь Владимирович

КУЛЕБЯКИН Виталий Васильевич

НЕДБАЛЬСКИЙ Викентий Константинович

Механика жидкости и газа

Курс лекций

В 4 частях

Ч а с т ь 3

Редактор Т.Н. Микулик

Компьютерная верстка А.Г. Занкевич

Подписано в печать 23.03.2012.

Формат 60´84¹/₁₆. Бумага офсетная.

Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс.

Усл. печ. л. 3,25. Уч.-изд. л. 2,54. Тираж 100. Заказ 1067.

Издатель и полиграфическое исполнение:

Белорусский национальный технический университет.

ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009.

Поиск по сайту: