Уравнение Бернулли для потока вязкой несжимаемой жидкости

Одним из оказавшихся наиболее плодотворными путей решения инженерных задач расчета распределения давления при течении жидкостей в трубах и каналах, явилось обобщение уравнения Бернулли на установившийся поток вязкой жидкости. В основу этого метода положена струйная модель – представление о потоке как о совокупности элементарных струек, для каждой из которых справедливо уравнение Бернулли.

Предположим, что движение установившееся и поток в рассматриваемом сечении плавно изменяющийся (или одномерный). Определим энергию, переносимую за секунду массой элементарной струйки через ее сечение (т. е. удельную мощность струйки). Эта величина может быть найдена как произведение полной удельной энергии струйки () на ее массовый расход ().
В справедливости этого легко убедиться непосредственно. Действительно, размерность удельной энергии – Дж/кг, размерность массового расхода – кг/с, их произведение

Таким образом, выражение для потока энергии в единицу времени (мощности потока) через сечение элементарной струйки выглядит как

Соответствующая величина мощности всего потока исходя из струйной модели представляется выражением

.

Учитывая, что жидкость несжимаема:

Поскольку поток жидкости плавно изменяющийся, то

Тогда, преобразуя выражение для потока энергии, получим

В полученном соотношении второй член представляет собой поток кинетической энергии, переносимой в единицу времени через сечение S.

Разделим обе части полученного уравнения на массовый расход ρ Q, т. е. отнесем это соотношение, как и уравнение Бернулли для струйки, к единице массы. Таким образом, имеем

Разделив и умножив третий член полученного выражения на квадрат средней скорости V ², с учетом того, что , придем к соотношению

Пусть

тогда

(2.1)

Величина носит название коэффициента кинетической энергии либо коэффициента Кориолиса.

Разделив обе части формулы (2.1) на ускорение свободного падения g, выразим это соотношение в размерностях длины, т. е. в форме напоров:

.

	Рассмотрим движение потока вязкой жидкости в канале от сечения 1 – 1 к сечению 2 – 2 (рис. 2.1). Обозначим удельную энергию потока в сечении 1 – 1 через Е 1, а в 2 – 2 – Е 2. Так как жидкость вязкая, то процесс ее перемещения сопровождается диссипацией, т. е.
Рис. 2.1

некоторая часть механической энергии необратимо расходуется на преодоление сил внутреннего трения и превращается в тепло, поэтому Е ₂ < Е ₁. Баланс энергии для выбранных сечений может быть записан в виде

где – потери энергии на трение.

Подставляя значения Е ₁ и Е ₂, получаем

Это и есть энергетическая форма уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости.

В практических приложениях чаще используют геометрическую форму уравнения Бернулли, выраженную в напорах:

где – потери напора.

Для газовых потоков (без учета сжимаемости), а также при расчетах систем гидравлического привода обычно используют уравнение Бернулли в форме давлений:

где – потери давления.

Обычно при этом член оказывается пренебрежимо малым по сравнению с остальными, тогда уравнение принимает вид

Как уже упоминалось, коэффициент носит название коэффициента кинетической энергии или коэффициента Кориолиса. Для выяснения физического смысла этой величины рассмотрим кинетическую энергию секундной массы потока несжимаемой жидкости, определяемую истинным распределением скоростей в сечении, т. е.

(2.2)

Если бы скорости в сечении были бы распределены равномерно, то (V – средняя скорость в данном сечении) и кинетическая энергия потока была бы

(2.3)

Разделив выражение (2.2) на (2.3), получим

Следовательно, коэффициент Кориолиса представляет собой отношение истинного потока кинетической энергии, вычисленной по неравномерному распределению скоростей, к потоку кинетической энергии, определенному по средней скорости. В этой связи можно утверждать, что α корректирует ошибку, возникающую при вычислении кинетической энергии от замены истинного распределения скоростей условно равномерным. Очевидно, что его величина зависит от формы эпюры скорости, причем она всегда больше единицы. При ламинарном течении в трубах , при турбулентном
α_т = 1,02–1,04. Следовательно, в турбулентном потоке скорости
в поперечном сечении распределены более равномерно, чем в ламинарном (эпюра скоростей турбулентного потока более «наполненная»).

В технических расчетах часто употребляют понятия пьезометрического и гидравлического уклонов, определяемых соотношениями:

пьезометрический уклон

;

гидравлический уклон

где L – расстояние, отсчитываемое вдоль оси потока (строго говоря, вдоль линии тока).

Очевидно, что пьезометрический уклон равен гидравлическому уклону в случаях течения в цилиндрических трубах и равномерного течения в каналах, поскольку в этих течениях V = const. Отметим также, что гидравлический уклон суть величина существенно положительная, тогда как пьезометрический уклон может быть отрицательным (случай расширяющегося потока).

3. РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ,
ИХ СВЯЗЬ С ГИДРАВЛИЧЕСКИМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ

Очевидно, что практическое использование уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости требует установить способ определения величины потерь напора Δ h, обусловленных действием в потоке сил сопротивления. Однако уже в 80-х годах ХIX века исследования, связанные с изучением сопротивления движению жидкости при течении в трубах, практически зашли в тупик. Опыты одних исследователей (немецкий инженер-строитель Г. Хаген, французский врач Ж. Пуазейль) показали, что потери напора, вызванные действием в потоке сил сопротивления, линейно зависят от скорости. В то же время не менее тщательные и точные опыты французского инженера А. Дарси свидетельствовали, что сопротивление пропорционально квадрату скорости. Возникшее противоречие тормозило развитие инженерной практики и требовало своего разрешения. Действительно, как показали в дальнейшем многочисленные эксперименты, механизм действия сил сопротивления различен для разных граничных условий и в разных режимах движения жидкостей.

Наблюдения, выполненные Г. Хагеном еще в 1855 г., дали возможность предположить, что характер движения в трубе может изменяться при достижении определенных условий. Эта гипотеза нашла блестящее подтверждение в классических опытах английского физика О. Рейнольдса, результаты которых были опубликованы в 1883–1884 г. и имели далеко идущие последствия для всей механики жидкости. Эти опыты доказали существование двух основных режимов течения жидкости. Первый режим – спокойный, слоистый, без перемешивания жидких частиц был назван ламинарным. Второй – бурный, хаотичный, приводящий к интенсивному перемешиванию частиц, позднее по предложению У. Томсона (лорда Кельвина) получил название турбулентного. Рейнольдс предположил, что увеличение скорости потока приводит к возникновению случайных возмущений, дестабилизирующих его структуру. Если под устойчивостью понимать способность потока подавлять возникающие в нем малые возмущения, то переход к турбулентному режиму может рассматриваться как потеря устойчивости течения. При этом из двух категорий сил, действующих на жидкие частицы, а именно сил вязкого трения и сил инерции, первые играют стабилизирующую роль, а вторые – дестабилизирующую. Таким образом, отношение этих сил может служить критерием устойчивости потока, т. е.

Критерий устойчивости

Сила инерции по 2-му закону Ньютона выражается формулой . Если выполнить оценку величины этой силы, используя характерные масштабы плотности ρ, скорости u, расстояния l, времени t, то получим

Учитывая, что есть не что иное, как скорость, оценка силы инерции

Сила вязкого трения (по известной формуле Ньютона)

F _тр

Выполняя оценки аналогично предыдущим, получаем

,

и безразмерный комплекс, характеризующий устойчивость течения, приобретает вид

В дальнейшем это соотношение получило название числа или критерия Рейнольдса, т. е.

где u –характерная скорость течения;

l –характерный линейный размер.

Для круглых труб характерный размер – их диаметр, характерной скоростью является средняя скорость. С учетом этого, имея в виду, что , выражение для критерия Рейнольдса принимает вид

Одним из наиболее существенных результатов, полученных в опытах Рейнольдса, являлось то, что переход от ламинарного течения к турбулентному происходил при одном и том же численном значении введенного им критерия, названного впоследствии критическим значением числа Рейнольдса (). По данным многочисленных опытов, в круглых трубах Rе ≈ 2300. Это так называемое нижнее критическое число Рейнольдса, которое получают, если не принимать специальных мер по стабилизации потока. При принятии таких мер переход к турбулентному режиму течения можно существенно затянуть. В технических расчетах принято, что если число Рейнольдса, вычисленное по фактическим значениям параметров, меньше Re_кр = 2300, то режим ламинарный, и наоборот.

Структуры ламинарного и турбулентного потоков различны, турбулентные пульсации порождают добавочные касательные напряжения и обусловливают увеличение потерь энергии в турбулентных потоках по сравнению с ламинарными течениями. Соответственно характер закономерностей, определяющих потери энергии, зависит от значения числа Re, причем в некоторых случаях удается получить эти закономерности аналитически, а в других приходится, пользуясь опытными данными, конкретизировать формулы эмпирическими коэффициентами.

Поиск по сайту: