I. Формула Бернулли

Теорема (частная теорема о повторении опытов). Вероятность Р_п (k) того, что в п испытаниях событие А повторится k раз и не наступит (n – k) раз определяется формулой

которая называется формулой Бернулли.

Доказательство. Найдем вероятность Р_п (k) того, что событие А произойдет ровно k раз в серии из п независимых испытаний.

Зафиксируем номера тех k испытаний, в которых произошло событие А, тогда в остальных n – k испытаниях произошло событие . Так как А и независимые, то вероятность такой последовательности событий равна:

Общее количество всех таких последовательностей равно числу сочетаний из п элементов по k , так как именно таким числом способов можно выбрать k номеров испытаний из общего числа п испытаний. При этом все такие последовательности образуют несовместные события. Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем искомую формулу

Замечание. Если вероятности событий вычисляются по формуле Бернулли, то говорят, что имеет место биномиальный закон распределения вероятностей.

Пример. Вероятность того, что расход электрической энергии на протяжении одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электрической энергии в течении 4 суток не превысит нормы.

Решение. Так как р = 0.75, q = 0.25 − вероятность перерасхода электрической энергии. Тогда

Поиск по сайту: