Замечание. I. Вероятность того, что в п испытаниях событие А появится:

I. Вероятность того, что в п испытаниях событие А появится:

а) от k ₁ до k ₂ раз (0 ≤ k ₁ < k ₂ ≤ n)

б) хотя бы один раз

в) менее k раз

г) не более k раз

д) более k раз

е) не менее k раз

Пример. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0, 9. Какова вероятность попадания не менее трех раз из пяти выстрелов?

Решение. Пусть А − попадание не менее трех раз, А ₃, А ₄, А ₅ − 3, 4, 5 раз соответственно. Тогда по формуле е) получим

Р (А) = Р (А ₃) + Р (А ₄) + Р (А ₅) = Р ₅ (3) + Р ₅ (4) + Р ₅ (5) = 0, 99144.

Этот пример показывает, что при больших п формулой Бернулли пользоваться неудобно.

II. Пусть производится п независимых опытов, каждый из которых имеет т (т ≥ r) попарно-несовместных и единственно возможных исходов А ₁, А ₂, ¼, А_т с вероятностями Р (А ₁) = р ₁, Р (А ₂) = р ₂, ¼, Р (А_т) = р_т одинаковыми во всех опытах (р ₁ + р ₂ + ¼ + р_т = 1). Для произвольных целых неотрицательных чисел k ₁, k ₂, ¼, k_m (k ₁ + k ₂ + ¼ + k_m = n) обозначим через Р_п (k ₁, k ₂, ¼, k_m) вероятность того, что в п опытах исход А ₁ наступит k ₁ раз, А ₂ − k ₂ раз, ¼, A_m − k_m раз, тогда

Данная формула определяет полиномиальное распределение вероятностей. Биномиальное распределение является частным случаем полиномиального распределения при т = 2, р ₂ = 1 – р ₁ = q ₁.

Поиск по сайту: