Условная вероятность. Умножение вероятностей

Определение. Условной вероятностью Р_А (В) (или Р (В / А)) называется вероятность события В, вычисленную в предположении что событие А уже наступило.

Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их в урну. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании (событие А): а) был извлечен черный шар; б) был извлечен белый шар.

Решение. а) п = 5; т = 3; Р_А (В) = .

б) п = 5; т = 2; Р_А (В) = .

Замечание. Из определения независимости событий следует, что появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Для независимых событий справедлива формула

Р_А (В) = Р (В), Р_В (А) = Р (А),

т. е. условные вероятности независимых событий равны их безусловным вероятностям.

Теорема (умножения вероятностей зависимых событий). Вероятность произведения (совместного появления) двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

Р (А∙В) = Р (А) Р_А (В) = Р (В) Р_В (А).

Доказательство. Пусть среди полной группы элементарных исходов А ₁, А ₂, ¼, А_п событию А благоприятствуют т исходов, событию В – k исходов, событию А∙В − ℓ исходов (ℓ ≤ т, ℓ ≤ k). Если событие В произошло, то это означает, что наступило одно из событий А_i, благоприятствующих В, при этом будет ℓ и только ℓ событий А_i, благоприятствующих А∙В поэтому

Аналогично

Выражая Р (АВ) из полученных равенств получаем

Р (А∙В) = Р (А) Р_А (В) = Р (В) Р_В (А).

Теорему можно обобщить на произведение любого числа зависимых событий.

Теорема. Вероятность произведения п событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили.

В частности для трех событий А, В, С получаем

Р (А∙В∙С) = Р (А) Р_А (В) Р_{А В} (С).

Пример. В урне − 3 кубика и 7 шаров. Наудачу берут один предмет, потом второй. Найти вероятность того, что первый − кубик, а второй − шар.

Решение. Введем обозначения:

А − вынут первый кубик;

В − вынут второй шар.

Тогда Следовательно

Заметим, что Следовательно

Теорема (умножения вероятностей независимых событий). Вероятность произведения (совместного появления) двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Р (АВ) = Р (А) ∙ Р (В).

Доказательство. Следует из того, что для независимых событий А и В

Р_В (А) = Р (А), Р_А (В) = Р (В).

Следствие. Вероятность произведения (совместного появления) п событий А ₁, А ₂, ¼, А_п, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

Пример. В каждом из трех ящиков имеется по 20 деталей: в первом − 15, во втором − 16, в третьем − 18 стандартных деталей. Из каждого ящика берут по одной детали. Найти вероятность того, что все извлеченные детали стандартные.

Решение. Введем обозначения:

А − извлечение стандартной детали из первого ящика;

В − извлечение стандартной детали из второго ящика;

С − извлечение стандартной детали из третьего ящика.

Тогда

Так как А, В, С независимы в совокупности, имеем

Поиск по сайту: