Повторении испытаний

Определение. Число k ₀, которому при заданном п соответствует максимальная биномиальная вероятность P_n (k ₀) называется наивероятнейшим числом появления события А.

Определим число k ₀, при котором вероятность P_n (k ₀) будет наибольшей.

Очевидно, что она удовлетворяет неравенствам:

и

Рассмотрим эти соотношения

n∙p – k ₀∙ p + p ≥ k ₀∙ q;

n∙p + p ≥ k ₀∙ p + k ₀∙ q = k ₀ (p + q) = k ₀;

n∙p + p ≥ k ₀;

k ₀∙ q + q ≥ n∙p – k ₀∙ p;

k ₀∙ p + k ₀∙ q ≥ n∙p − q;

k ₀ (p + q) ≥ n∙p − q;

k ₀ ≥ n∙p − q;

Итак, n∙p – q ≤ k ₀ ≤ n∙p + p.

Если n∙p + p не целое, то k ₀ равно целой части этого числа, т. е. k ₀ = n∙p. Если n∙p + p − целое, то k ₀ имеет два значения: n∙p – q и n∙p – р.

Пример. Всхожесть семян составляет в среднем 80%. Найти наивероятнейшее число всхожих среди девяти семян.

Решение. По условию задачи известно, что п = 9, р = 0,8, следовательно, q = 0,2. Тогда

k ₀ ≤ 9∙0,8 + 0,8 = 8.

Так как получено целое число, значит, существует два наивероятнейших числа всхожих семян: 7 = 9∙0,8 – 0,2 ≤ k ₀ ≤ 9∙0,8 + 0,8 = 8. Вероятности их наибольшие и равны между собой.

Действительно,

В случае, когда число испытаний достаточно велико, формула Бернулли требует больших вычислений. В этих случаях приходится пользоваться приближенными формулами, дающими результат с достаточной степенью точности.

III. Формула Пуассона.

Если вероятность наступления события А в одном испытании достаточно мала, а число испытаний велико, то полезно пользоваться формулой Пуассона.

Обозначим произведение n∙p = l и предположим, что число испытаний неограниченно растет, а вероятность появления события А в одном испытании неограниченно убывает так, чтобы произведение n∙p = l оставалось неизменным. Тогда

,

подставляя эти значения в формулу Бернулли, получим

Так как п∙р сохраняет постоянное значение, то при п ® ¥ вероятность р ® 0.

Таким образом − формула Пуассона.

Примечание. Таблица значений функции Пуассона приведена на странице.

Формула используется в задачах, относящихся к редким событиям.

Пример. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 5 человек?

Решение. Имеем схему независимых испытаний, в которой п = 800, р = 0.01, k = 5. Здесь l = п∙р = 8, тогда

Поиск по сайту: