 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
IV. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа
Определение. Дифференциальной функцией Лапласа называется функция
Примечание. Функция j (х) − четная, т. е. j (х) = j (- х).
Определение. Интегральной функцией Лапласа называется функция
Примечание. Функция Ф (х) − нечетная, т. е. Ф (х) = Ф (- х).
Значения функций Лапласа для положительных значений х табулированы и соответствие таблицы можно найти в любом учебнике, задачнике или справочнике по теории вероятностей, причем, необходимо иметь в виду, что при х ≥ 4 j (х)≈ 0, а при х > 5 Ф (х) ≈ 0,5.
Локальная теорема Лапласа. Если вероятность появления события А в каждый из п независимых испытаний постоянна и равна р (0< p < 1), то вероятность появления этого события ровно k раз приближенно равна
Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Если вероятность появления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р (0 < p < 1), то вероятность Рп (k 1, k 2) появления события А не менее k 1 и не более k 2 раз приближенно находится по формуле
где
Замечание. Приближенные формулы Муавра – Лапласа применяют практически в том случае, если p и q не малы, а n∙p∙q ≥ 9.
Примеры 1. Игральная кость брошена 500 раз. Найти вероятность того, что одно очко выпадет ровно 83 раза.
Решение. Проводятся п = 500 независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью 
появляется одно очко и с вероятностью 
не появляется. В данной задаче п∙р > 10, n∙p∙q > 20, поэтому применим локальную теорему Муавра – Лапласа:
По таблице получаем
j (− 0,04) = j (0,04) = 0,3986,
Примеры 2. Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбракованных не более 17?
Решение. Из условия задачи имеем, что п = 1100, р = 0,01, q = 0,99, 0 ≤ k ≤ 17. Тогда п∙р∙q > 10. Значит по теореме Муавра – Лапласа получаем
С помощью таблицы значений интегральной формулы Лапласа находим
Ф (х 1) = Ф (- 0,33) = − Ф (3,33) ≈ − 0,4995;
Ф (х 2) = Ф (1,82) ≈ 0,4656.
Тогда окончательно получаем
Р 100 (0; 17) = 0,4656 – (- 0,4995) = 0,9651.
Поиск по сайту: