История теоремы Пифагора

Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. с² = a² + b².

Название говорит, что теорему приписывают Пифагору. Теперь известно, что её знали задолго до Пифагора. За 12 в. в Др. Вавилоне, за 22в. в Др. Китае. Возможно Пифагор узнал эту теорему, путешествуя по Др. Египту и Др. Вавилону, а может быть в Милетской школе Фалеса. Однако есть свидетельство в пользу того, что она доказана впервые в школе Пифагора.

Существует легенда, что в честь посетившей его идеи, Пифагор принёс в жертву богам 100 быков. И ходит анекдот, что с той поры все скоты не любят математику. Док-во Пифагора не сохранилось, но к настоящему времени известно огромное число док-в.

Один из античных исследователей математики утверждает, что док-во самого Пифагора основано на идее подобия треугольников.

1). Док-во, основанное на идее подобия.

1). DАСН ¥ DАВС

АН/АС = АС/АВ => АС² = АВ×АН

2).DСНВ¥DАВС => HB/CB = CB/AB => CB²=AB×HB

AC² + BC² = AB×AH + AB×HB = AB(AH + HB) = AB²

AB² = AC² + BC² ч.т.д.

2). Док-во Евклида.

Доп. построения:

1. [MB), [KC)

2. (CE) ^ (KD)

Док-во:

1). Рассмотрим DАМВ и DАСК:

МА = АС, АВ = АК, ÐМАВ = ÐКАС = a + 90⁰

Следовательно, DАМВ = DАCK по 2 сторонам и углу м/у ними.

2). Имееv: S_DАМВ = S_DАCK

Следовательно, 1/2×b² = 1/2×AK×KE => b² = S_KALE

Аналогично, S_LBDE = a². Тогда, c² = a² + b²

3). Док-во, основанное на алгебраических док-вах:

- Школьное док-во.

- Док-во Агарья Бкаскара (Индия, XIIв.)

Доп. построения:

1. ABDE - квадрат

2. АК ^ ВС

3. ES ^ DK

Имеем АТ ^ ES

Док-во:

1). DАВС = DBKD = DESD = DATE (по гипотенузе и острым углам)

2). S_ABDE = S_CKST + 4S_ABC

c² = (a – b)² + 4×1/2×ab

c² = a² – 2ab + b² + 4×1/2×ab

c² = a² + b² ч.т.д.

- Построение: АВ = а, ВС = b, AK ^ AB, AK = b, CN ^ BC, CN = a,

AKNC – трапеция, [KB], [NB]

Док-во:

1). DAKB = DBNC => KB = NB = с

2). DKBN – прямоуг, т.к. ÐKBN=180⁰-(a+b)=90⁰

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

a² + b² = c² ч.т.д.

Поиск по сайту: