Система счисления и вычислительная техника египтян

Источники по истории египетской математики.

О математических знаниях народов Древнего Египта судят, в основном, по двум дошедшим до нашего времени текстам древнеегипетской математики. Этими текстами являются два папируса: Московский и папирус Райнда. Московский свиток содержит более 20 задач и примеров. Папирус Райнда содержит около 80 задач и примеров. Оба папируса относятся примерно к одному времени – эпохе Среднего царства, т.е. ХХ1-ХVIII вв. до н.э.

Система счисления

Египтяне пользовались десятичной системой счисления, но она не была позиционной. Числа записывались иероглифами. При этом специальные обозначения имели лишь числа вида 10ⁿ, где n {0,1,2,3,4,5,6,7}:

1 = I- мерная палка; 10 = Ç - путы для стреноживания коров; 10² = - веревка для обмера полей;

10³ = цветок лотоса; 10⁴ = ó - указательный палец; 10⁵ = лягушка; 10⁶ = -удивленный человек; 10⁷ = Солнце.

Для записи других чисел египтяне использовали аддитивный принцип. Например, 432 = ÇÇÇII/ Для обозначения дробей египтяне использовали три специальных символа: Ì = 1/2, = 2/3, x = 1/4.

Доли единицы называют аликвотными дробями. Всякая другая аликвотная дробь вида 1/n записывалась теми же знаками, что и число n, только над ним ставился знак (рот – «часть»). Например: 1/3 = , 1/10 = , 1/25 = . Другие дробные числа записывались в виде суммы целого числа и аликвотных дробей. Например:

Вычислительная техника Техника сложения и вычитания египтян в папирусах не отражена. Но способ записи чисел позволяет сделать предположение, что при сложении одинаковые символы объединялись, а затем осуществлялся переход к другим разрядам. Например, сложим 87 и 43:

ÇÇÇÇÇÇÇÇIIIIIII

ÇÇÇÇIII

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇIIIIIIIIIIÇÇÇ

Умножение на целое число и деление без остатка они фактически сводили к последовательному удваиванию и сложению. При этом один из множителей представлялся в виде суммы степеней числа 2: 1, 2, 4, 8,16,32 … Ясно, что любое натуральное число можно представить суммой чисел этого ряда. Процесс умножения выглядел следующим образом: составлялась таблица из двух столбцов, первый из которых начинался единицей, а второй – множимым; затем последовательно удваивались соответственные числа этих столбцов до тех пор, пока в первом становилось возможным, суммируя некоторые из его членов, получить в сумме множитель; сумма соответствующих чисел второго столбца давала произведение.

Пример1. Задача № 32 из папируса Райнда сводится к умножению 12x12:

1 12; 2 24; '4 48; '8 96; Вместе 144

Необходимые слагаемые 4 и 8 множителя 12 отмечались косой чертой. Иногда использовалось сокращение этой процедуры умножением на 10.

Пример 2. Пусть требуется умножить 14 на 80:

1 80; '10 800; 2 160; '4 320; вместе 1120

Заметим, что египтяне писали справа налево, поэтому запись в подлиннике выглядит иначе. Деление производилось как действие, обратное умножению. Брался делитель и путем удвоения подбиралось число, равное делимому.

Пример 3. Задача из папируса Райнда № 69 сводится к делению 1120 на 80. Указание гласит: «Умножай 80 (буквально: складывай, начиная с 80), пока не получишь 1120». Итак, деление 1120 на 80 выполнялось следующим образом:

1 80; '10 800; 2 160; '4 320; 14 1120;

Сравнивая последние два примера, видим, что графически алгоритм деления почти полностью совпадал с алгоритмом умножения.

Наряду с удвоением при делении употреблялось раздвоение. Условимся n (черточка в дальнейшем аликвотные дроби 1/n записывать в виде символизирует египетский знак).

Пример 4. Для вычисления частного 19 на 8 пользовались схемой:

1 8; 2 16'; 4; 2'; 1'; 19

Нередко при отыскании дробной части частного египетский математик начинает деление пополам не с делителя, а с 2/3 делителя.

Пример 5. Разделим 16 на 3:

1 3'; 2 6; 4 12'; 2; 1'; 16

Имеем: 16:3= 5+

В принципе, в данном примере можно было обойтись и без четвертой строки, брать сразу 1/3 от 3 из первой строки. Но египтяне никогда этого не делали. Они не находили 1/3 даже от 3 непосредственно. Чтобы это сделать, они сначала находили 2/3 от 3, используя индивидуальную дробь , а потом снова делили на 2. Таким образом, деление шло с помощью двух процессов:

1. Составлялся половинный ряд: ,…;

2. Составлялся следующий ряд: ,…, т.е. сначала находили 2/3 числа, а затем половину полученного результата и далее половину следующего и т.д.

Выводы. Рассмотренные примеры показывают, что техника вычисления у древних египтян находилась еще на сравнительно низком уровне. Древнеегипетские приемы умножения и деления довольно громоздки. Операция умножения прошла длительный путь развития, пока не обособилась от сложения. И первый шаг к ее обособлению был сделан древними египтянами через удвоение, т.е. через умножение на два.

Поиск по сайту: