 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Стереометрия в Древнем Египте
Египтянам необходимо было вычислять объёмы фигур цилиндрической, конической, пирамидальной и параллепипедной формы. Эти знания им были необходимы при строительстве амбаров и всевозможных укреплений. Нужно было знать, например, сколько зерна войдёт в амбар. Источники свидетельствуют о том, что объём цилиндра, куба, параллепипеда, призмы вычислялись как произведение площадей оснований на высоту. Вершиной все египетской математики является открытие точного способа вычисления объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием.
V = h/ 3 × (a2+ab+b2)
О получении этой формулы в папирусах ничего не сказано, однако трудно предположить, что она было получена эмпирически. Это можно сделать только логическим путём с использованием геометрических и арифметических рассуждений.
Рассмотрим задачу № 14. «Форма вычисления усечённой пирамиды когда тебе называют усечённую пирамиду высотой 6 локтей с плоскостями по 4 локтя на нижней стороне и по 2 локтя на верхней стороне. Реконструкция решения:
| Текст первоисточника | Решение | Формулы в общем виде |
| Считай ты с этой четверти возведённой в квадрат, чтобы запомнить. Получается 16. | 42 = 16 | а2 |
| Удвой и получается 8. | 4×2=8 | аb |
| Считай ты с этой двойной, возведённой в квадрат, чтобы запомнить. Получается 4. | 22 = 4 | b2 |
| Сложи вместе эти 16 с этими 8 и с этими 4. Получается 28. | 16 + 8 + 4 = 28 | a2 + ab + b2 |
| Считай 1/3 от 6. Получается 2. | 1/3 × 6 =2 | 1/3 × h |
| Считай ты с 28-го 2 раза. Получается 56. | 2 × 28 = 56 | h/3 × (a2 + ab + b2) |
Смотри, это равно 56. Ты правильно нашёл.
В задаче указан алгоритм решения, но нет никаких указаний на то, почему именно так надо действовать. Отто Нейгебауер предложил следующий вывод этой формулы для усечённой пирамиды частного вида.
Объём данной усечённой пирамиды складывается из объёмов параллепипеда, пирамиды и двух призм.
При такой реконструкции следует постулировать умение египтян выполнять некоторые алгебраические преобразования. Например, знать формулу (a + b)2 = a2 + ab + b2. Между тем, явных подтверждений того, что они этим владели, в источниках нет. А. Е. Рейн полагает, что египтянин-математик получил этот результат гораздо проще.
ВА1В1С1D1, D1ABCD – пирамиды
Естественно возникает вопрос, как древние египтяне установили, что объём пирамиды равен 1/3 объёма соответствующей ей призмы. В египетских источниках нет ответа на этот вопрос, но наиболее вероятно, что объём пирамиды был найден эмпирически, например, сравнением вместимости пирамиды и призмы.
Задача из папируса М10. «Форма вычисления корзины, если тебе называют корзину с диаметром устья 4 `2. О дай мне узнать её поверхность».
| Текст первоисточника | Вычисления | Формула в общем виде | |||
| Вычисли `9 от 9, т.к. корзина половина яйца. Получится 1. | 4 `2. `9 ×9 = 1 | d 1/9 ×2d | |||
| Вычисли остаток. Это 8. | 9 – 1 = 8 | 2d – 2d/9 | |||
| Вычисли 1/9 от 8. Получится 2/3, `6,`18 | 
| 
| |||
| Вычисли остаток от этих 8, `3,`6,`18. Получится 7`9. | 
| 
| |||
| Вычисли 7`9 умноженную на 4 `2. Смотри, это и есть её поверхность, ты правильно её нашёл. | 
| 
| |||
Sсф = 4pr2
Sп/сф = 2pr2 = 2Sкруга
Поиск по сайту: