Стереометрия

В Maple есть три геометрических пакета: geometry предназначен для задач планиметрии, geom3d – для задач стереометрии; projgeom – для проективной геометрии. Перед обращением к командам пакета сам пакет должен быть подгружен с использованием команды with. В каждом пакете кроме команд задания геометрических объектов имеются команды некоторых характерных величин (площадь, объем и др.), а также не менее стандартных величин (линии Эйлера). Все геометрические структуры, определенные при помощи одного из этих пакетов, могут использоваться только в пределах действия данного пакета. Нельзя, например, в команде пакета geom3d ссылаться на точку, заданную при помощи команды из пакета geometry.

Пакет geometry содержит команды для решения задач двумерной евклидовой геометрии. Перед началом работы пакет нужно подгрузить. Латинские буквы х и у используются, как глобальные переменные для координат точек, а также в качестве переменные в уравнениях прямых и окружностей. Геометрические объекты определяются обычным образом: точка задается своими координатами (команда point), прямая – двумя точками или уравнением (команда line), окружность (circle) – тремя точками, уравнением, заданием центра и радиуса, диаметром.

Целый ряд команд пакета проверяет выполнение того или иного условия для геометрических объектов. Результатом является булевская константа (true или false); в некоторых случаях выдаются координаты объекта (например, точки), при которых будет выполнено проверяемое условие.

Примеры команд:

– are_collinear – проверка, лежат ли три точки на одной прямой;

– are_concurrent – проверка, проходят ли три прямые через одну точку;

– are_harmonic – проверка двух точек на гармоническую сопряженность двум другим точкам;

– are_orthogonal – проверка двух окружностей на ортогональность;

– are_parallel – проверка параллельности двух прямых;

– are_perpendicular – проверка перпендикулярности двух прямых;

– are_similar – проверка двух треугольников на подобие;

– are_tangent(line,circle) – проверка,касательна ли прямая line окружности circle;

– concyclic – проверка существования окружности, которой принадлежат четыре точки;

– is_equilateral – проверка треугольника на равносторонность;

– is_right – проверка треугольника на прямоугольность;

– on_ circle(pt, circle) – проверка принадлежности точки pt окружности circle;

– on_line(pt,line) – проверка принадлежности точки pt прямой line.

Для многих команд результат действия присваивается переменной с именем name. Задание большинства геометрических объектов (вершины треугольника, точки отрезка и др.) не должно содержать никаких символических переменных.

Приведем основные команды:

– area – вычисление площади заданного объекта (треугольника, круга, квадрата и др.);

– bisector(tri,pt,name) – вычисление отрезка от вершины pt до середины противоположной стороны треугольника tri (median – синоним команды);

– center(circle) – определение центра окружности, результат присваивается переменной center_circle;

– centroid(tri,name) – вычисление центра тяжести треугольника;

– circle(name,[pt,expr]) – вычисление окружности с центром в точке pt и радиусом expr;

– circle(name,[pt1,pt2,pt3]) – вычисление окружности, проходящей через три точки;

– circumcircle(name,tri) – вычисление, описанной вокруг треугольника tri окружности;

– convexhull – вычисление окружности, проходящей через три точки из заданного множества точек так, что все остальные точки содержаться внутри окружности;

– coordinates(pt) – вывод координат точки pt;

– detailf(arg) – вывод информации об аргументе arg, в качестве которого может быть точка, прямая или окружность;

– diameter – вычисление диаметра круга, содержащего заданные точки;

– distance(pt,line) – вычисление расстояния между точкой pt и прямой line;

– ellipse(name,[ ]) – определение эллипса одним из следующих способов: по пяти точкам, по центру и двум полуосям или при помощи уравнения;

– find_angle – вычисление угла между двумя прямыми или двумя окружностями;

– incircle(tri,name) – вычисление вписанной в треугольник tri окружности;

– inter(line1,line2) – вычисление точки пересечения двух прямых;

– intersion(pt1,circle, name) – вычисление для точки pt точки инверсии относительно окружности circle;

Планиметрия

Команды пакета трехмерной геометрии geom3d похожи на рассмотренные команды двумерной геометрии.

Для определения точки, прямой, плоскости и сферы применяются соответственно функции point3d, line3d, plane и sphere. Для пакета geom3d идентификаторы x, y, z и t используются для указания координат точек, а также в уравнениях прямых, плоскостей и сфер.

Аналогично командам двумерной геометрии ряд команд выполняет проверку некоторых геометрических условий.

– are_collinear – проверка, лежат ли три точки на одной прямой;

– are_concurrent – проверка, проходят ли три прямые через одну точку;

– are_parallel – проверка параллельности двух прямых;

– are_perpendicular – проверка перпендикулярности двух прямых;

– are_similar – проверкадвух треугольников на подобие;

– are_tangent – проверка, касательна ли прямая сфере;

– coplanar – определение принадлежности четырех точек одной плоскости;

– on_plane(pt3d, plane) – проверка принадлежности точки pt3d плоскости plane;