 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Общее решение дифференциальных уравнений
Для нахождения аналитических решений дифференциальных уравнений в Maple применяется команда dsolve(eq,var,options), где eq – дифференциальное уравнение; var – неизвестная функция; options – параметры. С помощью параметров можно задавать метод решения задачи, по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exact. При вводе дифференциального уравнения для обозначения производной нужно использовать команду прямого действия diff. Д ифференциальное уравнение y''+y=x в среде Maple записывается в виде:
diff(y(x),x$2)+y(x)=x;
Общее решение дифференциального уравнения, которое, как известно, зависит от произвольных постоянных, число которых равно порядку дифференциального уравнения. В Maple такие постоянные, как правило, обозначаются как _С1, _С2 и т.д.
Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда выводится так, чтобы была четко видна структура этого решения. Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения этого же неоднородного дифференциального уравнения. Поэтому в строке вывода решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда состоит из слагаемых, которые содержат произвольные постоянные (это общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения), и слагаемые без произвольных постоянных (это частное решение этого же неоднородного дифференциального уравнения).
Команда dsolve выводит решение дифференциального уравнения в невычисляемом формате. Для того чтобы с решением можно было бы работать далее (например, построить график решения) следует отделить правую часть полученного решения командой rhs(%).
Пример.
Найти общее решение дифференциального уравнения y'+y/x=ex.
[> restart;
[> de:=diff(y(x),x)+y(x)/x=exp(x);
[> dsolve(de,y(x));
При записи решения дифференциального уравнения в Maple в строке вывода произвольная постоянная обозначена как _С1.
Пример.
Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y''-2y'+y=sinx+e-x.
[> restart;
[> eq:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)+y(x)
=sin(x)+exp(-x);
eq:= 
[> dsolve(eq,y(x));
Так как исходное уравнение было второго порядка, то полученное решение содержит две произвольные константы, которые в Maple обычно обознаются как _С1 и _С2. Первые два слагаемых представляют собой общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, а вторые два – частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
Пример.
Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y ''+ k 2 y =sin(qx) в двух случаях: q ¹ k и q = k (резонанс).
[> restart;de:=diff(y(x),x$2)+k^2*y(x)=sin(q*x);
de:= 
[> dsolve(de,y(x));
Теперь найдем решение в случае резонанса. Для этого перед вызовом команды dsolve следует приравнять q = k.
[> q:=k: dsolve(de,y(x));
Замечание: в обоих случаях частное решение неоднородного уравнения и общее решение, содержащее произвольные постоянные, выводятся отдельными слагаемыми.
Поиск по сайту: