В графическом виде

Для нахождения численного решения задачи Коши (краевой задачи) в команде dsolve следует указать параметр type=numeric (или просто numeric). Формат команды для численного решения дифференциального уравнения имеет вид

dsolve(eq, vars, type=numeric, options);

где eq – уравнения; vars – список неизвестных функций; options – параметры, позволяющие указать метод численного интегрирования дифференциального уравнения. В Maple реализованы такие методы: method=rkf45 - метод Рунге-Кутта-Фельберга 4-5-го порядка (установлен по умолчанию); method=dverk78 – метод Рунге–Кутта 7-8-го порядка; method=classical – классический метод Рунге–Кутта 3-го порядка; method=gear и method=mgear – одношаговый и многошаговый методы Гира.

График численного решения дифференциального уравнения можно построить с помощью команды odeplot(dd, [x,y(x)], x=x1..x2), где в качестве функции используется команда dd:=dsolve({eq,cond}, y(x), numeric) численного решения, после нее в квадратных скобках указывают переменную и неизвестную функцию [x,y(x)], а также интервал x=x1..x2 для построения графика.

Пример.

Найти численное и приближенное решение в виде степенного ряда до 6-го порядка задачи Коши: , , .

[> restart; Order=6:

[> eq:=diff(y(x),x$2)-x*sin(y(x))=sin(2*x):

[> cond:=y(0)=0, D(y)(0)=1:

[> de:=dsolve({eq,cond},y(x),numeric);

de:=proc(rkf45_x)...end

Замечание: в строке вывода появляется сообщение о том, что при решении использован метод rkf45. Если необходимо получить значение решения при каком-то фиксированном значении переменной х (заодно будет выведено значение производной решения в этой точке), например, при х = 0,5, то следует набрать:

[> de(0.5);

Построим график при фиксированном значении переменной х=0,5 (рис. 7.3)

[> with(plots):

[> odeplot(de,[x,y(x)],-10..10,thickness=2);

Теперь найдем приближенное решение задачи Коши в виде степенного ряда и построим графики численного решения и полученного степенного ряда в интервале их лучшего совпадения (рис. 7.4).

Рис. 7.3. График

[> dsolve({eq, cond}, y(x), series)

[> convert(%, polynom):p:=rhs(%):

[> p1:=odeplot(de,[x,y(x)],-2..3, thickness=2,

color=black):

[> p2:=plot(p,x=-2..3,thickness=2,linestyle=3,

color=blue):

[> display(p1,p2);

Рис. 7.4. Графики точного и приближенного решений задачи Коши , , .

Таким образом, наилучшее приближение решения степенным рядом достигается примерно на интервале -1< x <1.

Пример.

Построить графики решений задачи Коши системы дифференциальных уравнений: (рис. 7.5).

[> restart; cond:=x(0)=1,y(0)=2:

[> sys:=diff(x(t),t)=2*y(t)*sin(t)-x(t)-t,

diff(y(t),t)=x(t):

[> F:=dsolve({sys,cond},[x(t),y(t)],numeric):

[> with(plots):

[> p1:=odeplot(F,[t,x(t)],-3..7, color=black,

thickness=2,linestyle=3):

[> p2:=odeplot(F,[t,y(t)],-3..7,color=green,

thickness=2):

[> p3:=textplot([3.5,8,"x(t)"], font=[TIMES,

ITALIC, 12]):

[> p4:=textplot([5,13,"y(t)"], font=[TIMES,

ITALIC, 12]):

[> display(p1,p2,p3,p4);

Рис. 7.5. Графики решений задачи Коши системы дифференциальных уравнений

7.2.2. Пакет графического представления решений дифференциальных уравнений DEtools

DEplot(de, vars, range, x=х1..х2, y=у1..у2, cond, options);

где de - дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений; vars – список неизвестных функций; range – диапазон измерения независимой переменной; cond – начальные условия; x=х1..х2 и y=у1..у2 – диапазоны изменения функций; options – дополнительные параметры.

Наиболее часто используемые параметры:

– Linecolor -цвет линии;

- scene=[x,y] - определяет, какие зависимости выводить на график;

– iterations – число итераций, необходимое для повышения точности вычислений (по умолчанию это число равно 1); stepsize =число, равное расстоянию между точками на графике, по умолчанию оно равно (x2-x1)/20, этот параметр необходим для вывода более гладкой кривой решения;

- obsrange=true/false - прерывать или нет вычисления, если график решения выходит за установленный для рисования интервал.

Для решения дифференциального уравнения n -го порядка начальные условия можно задавать в более компактной форме:

[x0, y0, y'0, y''0,…],

где x0 - точка, в которой задаются начальные условия; y0 - значение искомой функции в точке x0, y'0, y''0,… - значения производных первой, второй и так далее до (n-1)- ого порядка.

Пример.

Построить график решения дифференциального уравнения (рис. 7.6): , , , в интервале .

[>restart; with(DЕtools):

[>DEplot(diff(y(x),x$3)+x*

sqrt(abs(diff(y(x),x)))+x^2*y(x)=0, {y(x)},

x=-4..5,[[y(0)=0,D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1]], stepsize=.1, linecolor=black,

thickness=2);

Рис. 7.6. График решения дифференциального уравнения

Поиск по сайту: