Локальные и условные экстремумы функций многих переменных

Для исследования функции нескольких пременных на локальный и условный экстремум используется команда из стандартной библиотеки extrema(f,{cond},{x,y,…},'s'), где cond – ограничения для поиска условного экстремума, которые записываются в виде неравенств или равенств. После ограничений в фигурных скобках указываются все переменные, от которых зависит функция f, а затем в кавычках записывается s – имя переменной, которой будут присвоены координаты точек экстремума. Для поиска локального экстремума множество {cond} задается пустым {}.

Отметим, что команда extrema выдает все критические точки, т.е. и те, в которых экстремума нет. Отсеять недающие экстремума критические точки можно с помощью подстановки этих точек в функцию, с использованием команды subs.

Как и для функции одной переменной, наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных можно найти командами

maximize(f,{x1,…,xn},range);

и

minimize(f,{x1,…,xn}, range);

в которых следует указывать после функции в фигурных скобках список всех переменных, от которых она зависит, и интервалы для каждой переменной, задающие область поиска наибольшего и наименьшего значений.

Если требуется найти переменные, при которых линейная функция многих переменных имеет максимум (или минимум) при наложении ограничений, заданных в виде линейных равенств или неравенств нужно использовать симплекс-метод. Для этого необходимо загрузить пакет simplex, а затем воспользоваться командой maximize (или minimize), где в качестве range в фигурных скобках указывают ограничения.

Пакет simplex предназначен для решения задач линейной оптимизации. После его загрузки команды maximize и minimize выдают координаты точек, при которых заданная линейная функция имеет максимум или минимум. Для поиска неотрицательных решений используется команда NONNEGATIVE.

Пример.

Найти экстремумы функции .

[> restart: readlib(extrema):

[> f:=2*x^4+y^4-x^2-2*y^2:

[> extrema(f,{},{x,y},'s');s;

{0, }

{{ x =0, y =0}, { x = y =0}, { x = , y =0}, { x =0, y =1}, { x =0, y =-1}, { x = , y =1}, { x = , y =-1}, { x = , y =1}, { x = , y =-1}}

Получилось два экстремума, поэтому очевидно, что f_max=0 и f_min=-9/8, причем максимум достигается в точке (0,0). Остальные критические точки следует проверить. В силу четности функции по обеим переменным, можно ограничиться проверкой критических точек с положительными координатами.

[> subs([x=1/2,y=1],f);

[> subs([x=1/2,y=0],f);

[> subs([x=0,y=1],f);

-1

Таким образом, функция имеет локальные экстремумы: f _max= f (0,0)=0 и f _min= f = f =-9/8.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике x = 0, y = 0, x = 1, y = 2.

Замечание: заданную область удобнее записывать в виде неравенств: 0 x 1, 0 y 2.

[> restart: readlib(maximize): readlib(minimize):

[> f:=x^2+2*x*y-4*x+8*y:

[> maximize(f,{x,y},{x=0..1,y=0..2});

[> minimize(f,{x,y},{x=0..1,y=0..2});

-4

Таким образом, функция имеет наибольшее значение f_max=17 и наименьшее значение f_min=-4.