Вопрос 3. Дифференцируемость функции нескольких переменных

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой окрестности точки M(x,y). Дадим аргументу х приращение Dx, а аргументу у – приращение Dy. При этом функция z = f(x,y) в точке M(x,y) получит полное приращение

О.3.1. Функция z = f(x,y) называется дифференцируемой в точке M(x,y), если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

, (1)

где А и В ‒ некоторые числа, независящие от Dx, Dy; а a = a(Dx,Dy), b= b(Dx,Dy) - бесконечно малые функции при Dx ® 0, Dy ® 0.

Т.3.1. (необходимое условие дифференцируемости функции)

Если функция z = f(x,y) дифференцируема в точке M(x,y), т.е. имеет место равенство (1), то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные по всем аргументам, причем

и .

Следствие

Равенство (1)можно записать в другом виде

. (2)

Равенства (1) и (2) – условия дифференцируемости функции z = f(x,y) в точке M(x,y).

Замечание

Обратное утверждение неверно, т.е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует дифференцируемость функции.

Выясним достаточное условие дифференцируемости функций нескольких переменных.

Т.3.2. (достаточное условие дифференцируемости функции)

Если функция z = f(x,y) имеет частные производные в некоторой окрестности точки M(x,y), и эти производные непрерывны в самой точке М, то функция дифференцируема в точке M.

Следствие

Из непрерывности частных производных следует непрерывность самой функции

z = f(x,y).

Теорема 3.2 имеет важное значение для установления дифференцируемости функций, поскольку непосредственная проверка дифференцируемости функции с помощью определения часто затруднительна, в то время как проверка непрерывности частных производных оказывается проще.

Поиск по сайту: